МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 12. Задачи на повторение

— Капитан Джек Воробей, вы самый жалкий пират, о каком я когда-либо слышал! — Но вы обо мне слышали!

1.

Томас Кэвендиш, вернувшийся из кругосветного путешествия, утверждает, что по пути он пересек границы родного края ровно 13 раз. Верите ли вы ему?

Ответ Решение

Ответ. Нет.

Решение. Путешественник вернулся туда, откуда он уезжал. Пересечения границ его края родного можно разделить на две равные части: приезды и отъезды. Следовательно, количество пересечений границы должно нацело делится на 2. А число 13 на 2 нацело не делится.

2.

Капитан Джек Воробей объявил, что максимальная скорость корабля «Чёрная жемчужина» равняется 50 м/мин. Уилл Тёрнер ему не поверил, и правильно: на самом деле Капитан всё перепутал и думал, что в метре 60 см, а в минуте 100 секунд. Помогите Уиллу определить максимальную скорость передвижения «Чёрной жемчужины».

Ответ Решение

Ответ. 30 см/сек = 18 м/мин.

Решение. «Жемчужина» проплывает 50·60 = 3000 см за 100 с, то есть скорость корабля равна 30 см/с = 0,3 м/с = 0,3·60 м/мин = 18 м/мин.

3.

Есть квадратные лоскутки одинаковых размеров, каждый из которых раскрашен или в серобуромалиновый, или в камелопардовый цвет. Из этих лоскутков нужно сшить флаг 3×3. Сколько есть различных способов это сделать? Лоскутков каждого цвета не меньше девяти. Флаги, отличающиеся друг от друга только поворотом или зеркальным отражением, считаются разными!

Ответ Решение

Ответ. 2⁹ = 512.

Решение. Для каждой из 9 клеток флага можно выбрать один из двух цветов независимо от цветов остальных флагов.

4.

Аня кушала большой вкусный торт. Когда она съела половину, она ушла смотреть «Синдбада-Морехода». Пока Ани не было, торт кушал её брат. Вернувшись, девочка увидела, что от торта осталась половина той части, которую скушал брат. Какую часть от всего торта съела Аня, если, возвратившись, она доела его?

Ответ Решение

Ответ. Две трети.

Решение. Обозначим через s весь торт, который Анна ела от того момента, как вернулась после просмотра «Синдбада-Морехода», до того момента, как торт закончился. Тогда брат съел 2s. Всего же от момента, как Анна ушла, торт уменьшился на 3s. Но известно, что это половина всего торта. Значит, весь торт составляет 6s. Поскольку Анна всего съела 4s, то по отношению ко всему эта часть составит 2s : 3s = 2/3.

5.

Сэр Френсис Дрейк на своём корабле «Золотая лань» совершал кругосветное плавание. В одном из заморских портов ему предложили интересную игру. Перед сэром Дрейком поставили шесть стаканов. Три из них стояли дном вверх, а три — дном вниз. Капитану разрешили за один ход переворачивать любые два из них. Он выиграет, если сможет поставить все стаканы дном вниз. А сможет ли?

Ответ Решение

Ответ. Не сможет.

Решение. При перевороте любых двух стаканов количество стаканов, стоящих дном вниз, изменяется либо на 0, либо на 2, а значит, чётность их количества не меняется. 3 — нечётное число, а 6 — чётное. Следовательно, Сэр Френсис Дрейк не сможет выиграть.

6.

По кругу на столе выложили шесть фруктов — ананасы и мандарины. Мистер Трелони убрал все ананасы, у которых есть хотя бы один сосед мандарин. После этого доктор Ливси убрал все мандарины, у которых есть хотя бы один сосед ананас. Мог ли после этого на столе остаться один фрукт?

Ответ Решение

Ответ. Мог.

Решение. Например, такое могло быть, если в начале фрукты располагались по кругу в следующем порядке: мандарин, ананас, ананас, ананас, мандарин, ананас.

7.

Девять одинаковых попугаев за пять минут склёвывают меньше, чем 1001 зёрнышко, а десять таких же попугаев за то же время склёвывают больше, чем 1100 зёрнышек. Сколько зёрнышек склёвывает каждый попугай за пять минут?

Ответ Решение

Ответ. 111.

Решение. Поскольку 10 попугаев склёвывают больше 1100 зёрнышек, то 9 попугаев будут склёвывать больше (1100 : 10) · 9 = 990 зёрнышек. При этом известно, что 9 попугаев склёвывают меньше чем 1001 зёрнышко. Единственное делящееся на 9 число в промежутке от 991 до 1000 — это 999. Значит, 9 попугаев склёвывают 999 зёрнышек, а один — 111 зёрнышек.

8.

На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник 5×9. В левом нижнем углу стоит фишка. Коля и Серёжа по очереди передвигают ее на любое количество клеток либо вправо, либо вверх. Первым ходит Коля. Кто сможет первым поставить фишку в правый верхний угол и выиграть (при правильной игре)?

Ответ Решение

Ответ. Коля.

Решение.

Каждым своим ходом Коля ставит фишку на одну из клеток отмеченной диагонали (см. рисунок). Серёжа своим ходом ее оттуда убирает. Поскольку они ходят только вправо или вверх, то когда-нибудь игра закончится.

Задачу можно также решать с конца при помощи анализа выигрышных и проигрышных позиций.

9.

Ковбой Джо попал в плен к сомалийским пиратам. Чтобы решить его судьбу, они предлагают ему выбрать одну из двух записок, в одной из которых написано «Казнить», а в другой — «Отпустить на свободу». Пират, который принесёт Джо записки, будет знать, что в какой из них написано. Кроме того, этот пират через день говорит то правду, то ложь. Джо может задать этому пирату ровно один вопрос перед тем, как выбрать записку. Какой вопрос Джо должен задать, чтобы точно узнать, что в какой записке написано?

Ответ Решение

Ответ. Что бы Вы мне ответили вчера на вопрос, в какой записке написано «Казнить»?

Решение. Джо может, например, спросить: «Что бы Вы мне ответили вчера на вопрос, в какой записке написано «Казнить»?» Независимо от того, говорит ли сегодня стражник правду или ложь, ответ на это вопрос всегда будет противоречить тому, где на самом деле написано .«Казнить». Если Джо в этом вопросе вместо слова «вчера» использует «позавчера», ответ всегда будет правдивым независимо от того, говорит ли стражник правду сегодня или говорил её вчера.

10.

В вершинах квадрата сидят четыре кузнечика. Они могут прыгать друг через друга (после прыжка расстояние между двумя кузнечиками сохраняется). Могут ли они через несколько прыжков оказаться в вершинах большего квадрата?

Ответ Решение

Ответ. Нет.

Решение. Представим себе, что квадрат, в вершинах которого сидят кузнечики — это квадрат на клетчатой бумаге. Предположим, что кузнечики сумели попасть в вершины большего квадрата, тогда, прыгая в обратном порядке, они должны вернуться в вершины меньшего. Но, начиная прыгать из вершин большего квадрата, они всегда будут попадать в узлы сетки, состоящей из больших квадратов. Иначе говоря, расстояние между ними не может быть меньше, чем сторона большого квадрата. Противоречие.