МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 7. Математические игры

Игры-шутки (исход игры не зависит от ходов противников)

1.

В строчку выписано 100 единиц. Кирилл и Даниил по очереди ставят между какими-нибудь двумя соседними единицами знак плюс или минус. Когда между всеми соседними числами поставлены знаки, вычисляется результат. Если полученное число чётно, то выигрывает Кирилл, в противном случае — Даниил. Кто выиграет, если начинает Кирилл?

Ответ Решение

Ответ. Выигрывает Кирилл.

Решение. Как при прибавлении, так и при вычитании единицы из любого числа чётность этого числа изменяется. Так как было выписано чётное число единиц (100 штук), результат будет чётным вне зависимости от расстановки плюсов и минусов. Действительно, если, двигаясь слева направо, последовательно вычислять значение записанного выражения, то мы будем 100 раз добавлять или вычитать единицу, и чётность изменится 100 раз, то есть сохранится (ведь в самом начале был ноль). Поэтому выиграет Кирилл вне зависимости от ходов противников.

2.

На доске написано 10 единиц и 10 двоек. Двое играют по следующим правилам: за ход разрешается стереть две любые цифры и, если они были одинаковыми, написать двойку, а если разными — единицу. Если последняя оставшаяся на доске цифра — единица, то выиграл первый игрок, если двойка — то второй. Кто выиграет?

Ответ Решение

Ответ. Выигрывает второй игрок.

Решение. Будем следить за суммой чисел, написанных на доске. Заметим, что при каждом ходе она не изменяется, так как либо вычитается чётное число и прибавляется двойка, либо вычитается нечётное число и прибавляется единица. Поскольку вначале сумма чисел была чётной, то последняя цифра, оставшаяся на доске, чётна, то есть это двойка. Поэтому выигрывает второй игрок.

3.

Маша и Ваня по очереди ломают шоколадку «Алёнка» размером 6×8. За один ход можно сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет, если первый разлом делает Маша?

Ответ Решение

Ответ. Выигрывает Маша.

Решение. Первоначально шоколадка состояла из одного куска. После каждого хода количество кусков увеличивается на один. В конце игры стало 48 кусков, поэтому было сделано 47 разломов, то есть нечётное число. Так как Маша делает каждый нечётный разлом, то она сделает и последний ход, поэтому выиграет.

Симметричные стратегии

4.

Остап Бендер провел сеанс одновременной игры в шахматы с двумя гроссмейстерами, причем с одним из соперников он играл чёрными фигурами, а с другим — белыми. За этот сеанс Остап получил 1 очко. (За победу в шахматной партии дается 1 очко, за ничью пол-очка, за поражение — 0 очков.) Как он смог этого добиться?

Решение

Решение. Первым ходил соперник Остапа, играющий белыми. После этого Остап повторил его ход на другой доске. Таким образом, в каждой из партий Остап Бендер повторял ходы соперника из другой партии. Фактически гроссмейстеры играли друг с другом на разных досках. Если один из соперников Бендера получил 1 очко, то Бендер получил 1 очко в партии с другим. В случае ничьей каждый игрок получил за каждую сыгранную партию по 0,5 очка, а тогда и Бендер в сумме набрал 0,5 + 0,5 = 1 очко.

5.

а)

Имеются две кучки по 10 спичек. Двое по очереди берут спички, причём за один ход разрешается брать любое количество спичек, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

б)

А если в одной кучке 20, а в другой 30 спичек?

Ответ Решение

Ответ. а) Выигрывает второй. б) Выигрывает первый.

Решение.

а) Выигрышная стратегия для второго игрока: брать из кучки, нетронутой первым на предыдущем ходе, столько же спичек, сколько взял до этого первый.

б) Выигрышная стратегия для первого игрока: первым ходом взять из большей кучки 10 спичек, а затем воспользоваться стратегией из преды-дущего пункта.

6.

В каждой клетке доски 7×7 стоит шашка. Двое по очереди снимают с доски любое количество подряд идущих шашек либо из одного вертикального, либо из одного горизонтального ряда. Выигрывает снявший последнюю шашку. Укажите выигрышную стратегию для первого игрока.

Решение

Решение. Первым ходом необходимо снять шашку из центра доски, а затем делать ходы, симметричные относительно центра доски ходам второго игрока.

7.

Двое по очереди кладут пятаки на круглый стол, причем так, чтобы они не накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

Ответ Решение

Ответ. Выигрывает первый.

Решение. Первый игрок первым ходом кладет пятак в центр стола. Затем делает ходы симметрично ходам первого относительно центра стола. Поэтому первый всегда сможет сделать ответный ход.

Другие стратегии (удачное соответствие, решение с конца)

8.

а)

В кучке лежит 20 карандашей. Каляка и Маляка по очереди берут карандаши из кучки. За один ход разрешается взять от 1 до 4 карандашей. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет, если начинает игру Каляка?

б)

А если за один ход разрешается брать от 1 до 5 карандашей?

Ответ Решение

Ответ. а) Выиграет Маляка. б) Выиграет Каляка.

Решение.

а) Выигрышная стратегия для Маляки: если Каляка берет a карандашей, то следующим ходом Маляка берет (5−a) карандашей. Так как после каждой пары ходов количество карандашей в кучке уменьшается на 5, а 20 делится на 5, то через 4 пары ходов Маляка выиграет.

б) Выигрышная стратегия для Каляки: первым ходом взять 2 карандаша, чтобы оставшееся количество карандашей делилось на 6. Следующие ходы Каляка делает по правилу: если Маляка берет a карандашей, то следующим ходом Каляка берет (6−aкарандашей).

После трёхкратного применения этого правила Каляка выигрывает.

9.

В кучке 25 камней. Двое по очереди берут из кучки 2, 4 или 7 камней. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Ответ Решение

Ответ. Выигрывает первый.

Решение. Выигрывает первый. Первым ходом он должен взять 4 камня, а далее действовать по приведённой ниже схеме. (указано количество камней, остающихся в куче после того, как игрок сделает очередной ход).