МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Руководитель Евгений Александрович Асташов
2012/2013 учебный год

Занятие 4. Делимость

На этом занятии все числа — целые; слово «делится» означает «делится нацело».
1.
а)
Придумайте три различных числа, сумма которых делится на каждое из них.
б)
Придумайте три числа, сумма которых делится на число, на которое не делится ни одно из них.

Ответ Решение

Ответ. а) Например, 1 + 2 + 3 = 6, и 6 делится на 1, 2 и 3.
б) Годятся любые три натуральных числа.
Решение. б) Сумма любых трёх натуральных чисел будет делиться сама на себя. Но эта сумма больше каждого из слагаемых, поэтому ни одно из них не делится на эту сумму.
2.
Верно ли, что если число одновременно делится на 4 и на 6, то оно делится и на 24?

Ответ Решение

Ответ. Неверно.
Решение. Например, число 12 делится и на 4, и на 6, но не делится на 24. Однако если число делится и на 4, и на 6, то оно делится и на 12 = НОК(4, 6).
3.
Робинзон Крузо каждый второй день пополняет запасы питьевой воды из источника, каждый третий день собирает фрукты и каждый пятый день ходит на охоту. Сегодня у Робинзона тяжёлый день: он должен делать все эти три дела. Когда у Робинзона будет следующий тяжёлый день?

Ответ Решение

Ответ. Через 30 дней.
Решение. Поскольку Робинзон Крузо каждый второй день пополняет запасы питьевой воды из источника, каждый третий день собирает фрукты и каждый пятый день ходит на охоту, промежуток между двумя тяжёлыми днями должен состоять из числа дней, кратного 2, 3 и 5. Нас интересует следующий тяжёлый день, поэтому нужно выбрать наименьшее из таких чисел. Это число 30 = 2·3·5 = НОК(2, 3, 5) (убедитесь в этом самостоятельно).
4.
Не вычисляя произведения 2013 · 15 · 77, определите, делится ли оно на 2, 3, 9, 35, 55, 80, 6039.

Ответ Решение

Ответ. На 2 и 80 не делится, на остальные — делится.
Решение.

Поскольку 2013, 15 и 77 — нечётные числа, их произведение тоже нечётно (вспомните предыдущее занятие!), то есть не делится на 2. Поскольку 80 делится на 2, все числа, делящиеся на 80, должны быть чётными. Значит, число 2013 · 15 · 77 не делится также и на 80.

Число 15 делится на 3, поэтому и всё произведение делится на 3. На 9 ни один из сомножителей не делится, зато два из них (15 и 2013) делятся на 3, поэтому всё произведение делится на 9 (ведь 9 = 3·3). Аналогично, поскольку 15 делится на 5, а 77 делится на 7, произведение делится на 35 = 5·7; поскольку 15 делится на 5, а 77 делится на 11, произведение делится на 55 = 5·11; поскольку 2013 делится на 2013, а 3 делится на 3, произведение делится на 6039 = 2013·3.

Натуральное число, большее единицы, называется простым, если делится нацело только на единицу и на само себя. Например, числа 2, 3, 5, 7, 11 — простые.
5.
В магическом квадрате суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и на обеих диагоналях равны. Можно ли составить магический квадрат 5×5 из первых 25 простых чисел?

Подсказка Ответ Решение

Подсказка. Вспомните тему предыдущего занятия!
Ответ. Нельзя.
Решение.

Сначала заметим, что среди всех простых чисел только одно чётное — это число 2. Действительно, любое другое чётное натуральное число делится, кроме единицы и самого себя, ещё и на 2, и потому не является простым.

Теперь предположим, что магический квадрат удалось составить из первых 25 простых чисел. Среди них есть двойка, а остальные 24 числа — нечётные. В той строке, где окажется двойка, сумма всех чисел будет чётной, ведь там одно чётное число и четыре нечётных. Во всех остальных строках все числа будут нечётными, а сумма пяти нечётных слагаемых также нечётна. Поэтому сумма чисел во всех строках не может оказаться одинаковой. Полученное противоречие доказывает, что магический квадрат невозможно составить из первх 25 простых чисел.

6.
Делится ли число (111999 − 1) на 2? А на 10?

Подсказка Ответ Решение

Подсказка. Какая последняя цифра у этого числа?
Ответ. Да, делится и на 2, и на 10.
Решение.

Сначала заметим, что последняя цифра произведения нескольких чисел равна последней цифре произведения их последних цифр (это следует, например, из правила умножения в столбик). Теперь найдём последнюю цифру числа 111999. Так как это произведение 999 сомножителей, каждый из которых равен 111 (и имеет последнюю цифру 1), его последняя цифра равна последней цифре произведения 999 единиц, то есть тоже 1. А если от этого числа отнять единицу, то у разности последняя цифра будет 0. Значит, это число делится на 10 (а заодно и на 2).

Замечание. Ответ на первый вопрос задачи можно было получить проще. Число 111 нечётное, поэтому при возведении в степень (то есть при умножении само на себя несколько раз) тоже будет давать нечётное число. Число 1 также нечётно. А разность двух нечётных чисел чётна, то есть делится на 2.

7.
Найдите последнюю цифру числа:
а)
3100;
б)
20112012 + 20122013.

Ответ Решение

Ответ. а) 1; б) 3.
Решение.

а) Начнём последовательно выписывать последние цифры степеней тройки. Для нахождения последней цифры очередной степени тройки достаточно брать последнюю цифру предыдущей степени, умножать её на 3 и брать последнюю цифру результата. Получим следующую цепочку: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1... (проверьте!). Видно, что на каждом четвёртом месте в этой последовательности стоит единица. Поскольку 100 делится на 4, на сотом месте тоже будет стоять единица. То есть последняя цифра числа 3100 равна 1.

Последняя цифра числа 20112012 равна 1 (вспомните, например, решение задачи 6). Найдём последнюю цифру числа 20122013. Как мы уже отмечали при решении задачи 6, последняя цифра произведения нескольких чисел равна последней цифре произведения их последних цифр. Поэтому последняя цифра этого числа совпадает с последней цифрой числа 22013. А она равна 2 (получите это самостоятельно по аналогии с пунктом а). Теперь ясно, что последняя цифра числа 20112012 + 20122013 равна сумме последних цифр каждого из слагаемых, то есть 1 + 2 = 3.

8.
Допишите к числу 523... три цифры так, чтобы полученное шестизначное число делилось на 7, 8 и 9. Сколько всего таких чисел существует?

Ответ Решение

Ответ. Таких чисел два: 523152 и 523656.
Решение. Чтобы число одновременно делилось на 7, 8 и 9, необходимо, чтобы оно делилось на НОК(7, 8, 9) = 504 (вспомните задачу 3). Теперь выясним, какие из шестизначных чисел вида 523... делятся на 504. Сначала поделим 523000 на 504 с остатком: 523000 = 504 · 1037 + 352. Чтобы получить ближайшее к 523000 число, делящееся на 504, нужно взять число 504 · 1038 = 523152. Это одно из интересующих нас чисел. Следующее за ним число, делящееся на 504, равно 523152 + 504 = 523656. Следующее число, кратное 504, уже будет больше 524000. Таким образом, мы нашли все интересующие нас числа.
9.
В магазине было 6 ящиков яблок, массы которых равны соответственно 15, 16, 18, 19, 20 и 31 кг. Две фирмы приобрели 5 ящиков, причем одна из них взяла в два раза больше яблок (по массе), чем другая. Какой ящик остался в магазине?

Ответ Решение

Ответ. Ящик массой 20 кг.
Решение. Поскольку одна фирма купила вдвое больше яблок, чем другая, общая масса купленных яблок должна делиться на 3 (тогда две трети купит первая компания и ещё треть — вторая). Общая масса всех яблок в магазине равна 15 + 16 + 18 + 19 + 20 + 31 = 119 кг. Осталось определить, какое из чисел 15, 16, 18, 19, 20 и 31 нужно отнять от 119, чтобы получилось число, кратное трём. Нетрудно убедиться, что это может быть только число 20.
10.
Вершины тысячеугольника занумерованы по порядку от 1 до 1000. Сан Саныч отмечает каждую пятнадцатую вершину, начиная с первой (то есть вершины с номерами 1, 16, 31, 46 и т.д.). Так он делает до тех пор, пока не дойдёт до уже отмеченной вершины. Сколько вершин тысячеугольника останутся неотмеченными?

Ответ Решение

Решение. Будем выписывать номера отмеченных вершин. Первые несколько из них делятся на 15 с остатком 1: это 1, 16, 31, ..., 991. Дальше будет 6 и другие номера, делящиеся на 15 с остатком 6: 21, 36, ..., 996. Дальше будет 11 и другие номера, делящиеся на 15 с остатком 11: 26, 41, ..., 986. А потом — снова 1, и больше никакие вершины отмечены не будут. Если аккуратно посчитать (проделайте это!), отмеченных вершин получится 200 штук, а неотмеченных — 800.
11.
Если в выражение n2 + n + 41 подставлять n = 1, 2, 3, 4, 5, получатся простые числа 43, 47, 53, 61, 71. Верно ли, что при подстановке в это выражение любого натурального числа n получится простое число?

Ответ Решение

Ответ. Неверно.
Решение. Если подставить в это выражение n = 41, получим сумму 412 + 41 + 41. Каждое слагаемое в этой сумме делится на 41, поэтому и вся сумма делится на 41. Кроме того, эта сумма, очевидно, не равна 41. А значит, она не является простым числом.