МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 8. Движение и работа

1.

Из дома Юра вышел на 5 минут позже Лены, но шёл со скоростью в два раза большей, чем она. Через какое время Юра догонит Лену?

Ответ Решение

Ответ. Через 5 минут.

Решение. За 5 минут Юра пройдёт то же расстояние, что Лена за 10 минут. Поэтому через пять минут после выхода Юры он догонит Лену.

2.

Если Аня идёт в школу пешком, а обратно едет на автобусе, то всего на дорогу она тратит полтора часа. Если же она едет на автобусе в оба конца, то весь путь у неё занимает 30 мин. Сколько времени потратит Аня на дорогу, если и в школу и из школы она будет идти пешком?

Ответ Решение

Ответ. 2 ч 30 мин.

Решение. Из второго условия следует, что дорога в один конец на автобусе занимает 15 минут. Тогда из первого условия найдём, что дорога в один конец пешком занимает 90 − 15 = 75 минут. Значит, дорога в оба конца пешком займёт 75·2 = 150 мин = 2 ч 30 мин.

3.

Львёнок решил покататься на Черепахе, но сначала ему нужно её догнать. Какое расстояние придется пробежать Львёнку, прежде чем он сможет покататься, если его скорость в 10 раз больше скорости Черепахи, а Черепаха находится в 180 метрах от Львёнка?

Ответ Решение

Ответ. 200 м.

Решение. За то время, за которое Черепаха пройдёт 10 м, Львёнок пробежит 100 м, то есть расстояние между ними сократится на 90 м. Значит, за вдвое большее время расстояние между ними сократится как раз на 180 м. А за это время Львёнок пробежит 200 м.

4.

Петя и Вася красят забор. Каждый из них по отдельности может покрасить забор за 8 часов. Забор начал красить Петя, а спустя 2 часа к нему присоединился Вася. За сколько часов был покрашен весь забор?

Ответ Решение

Ответ. За 5 часов.

Решение. Если за восемь часов Петя красит весь забор, то за два часа он покрасит четверть забора, и останется покрасить ещё три четверти забора. Работая вдвоём, Петя и Вася покрасили бы весь забор за 4 часа. Тогда четверть забора они бы покрасили за час, а три четверти забора — за три часа. Итого на покраску забора уйдёт 2 + 3 = 5 часов.

5.

На птицеферме «Курочка Ряба» восьми тонн корм курам хватает на 20 дней. На птицеферме «Серая Шейка» такого же запаса уткам хватает на 60 дней. На сколько дней хватило бы восьми тонн этого корма всем птицам вместе, если бы птицефермы объединились?

Ответ Решение

Ответ. На 15 дней.

Решение. За 60 дней утки с птицефермы «Серая Шейка» съедят восемь тонн корма, а куры с птицефермы «Курочка Ряба» за это же время съедят уже 8·3 = 24 тонны корма. Поэтому птицы с обеих птицеферм вместе за 60 дней съедят 32 тонны корма. Значит, 8 тонн корма они съедят вчетверо быстрее, то есть за 15 дней.

6.

Десять бобров рассчитали, что могут построить плотину за 8 дней. Когда они проработали 2 дня, то выяснилось, что ввиду надвигающегося паводка им надо закончить работу через два дня. Сколько бобров им необходимо позвать себе на подмогу?

Ответ Решение

Ответ. 20.

Решение. Если десять бобров за восемь дней могут построить плотину целиком, то за два дня они выполнили четверть всей работы по постройке плотины. Оставшиеся три четверти работы они бы вдесятером выполнили за 6 дней. Чтобы оставшиеся три четверти работы выполнить тоже за два дня, то есть втрое быстрее, нужно утроить производительность. А для этого нужно, чтобы бобров было втрое больше, то есть 30. Значит, надо позвать ещё 20 бобров.

7.

Чтобы испечь сто блинов, маме требуется 30 минут, а Ане — 40 минут. Андрюша готов съесть 100 блинов за час. Мама с Аней пекут блины без остановки, а Андрюша непрерывно их поедает. Через какое время после начала этого процесса на столе окажется ровно сто блинов?

Ответ Решение

Ответ. Через 24 минуты.

Решение. Заметим, что за два часа, то есть за 120 минут, мама испечёт 400 блинов, Аня — 300 блинов, а Андрюша съест 200 блинов. То есть за два часа общее количество блинов увеличится на 400 + 300 − 200 = 500. А 100 блинов на столе появятся за впятеро меньшее время, то есть за 120 : 5 = 24 минуты.

8.

Для перевозки почты из почтового отделения на аэродром был выслан автомобиль «Москвич». Самолёт с почтой приземлился раньше установленного срока, и привезённая почта была отправлена в почтовое отделение на попутной грузовой машине. Через 30 минут езды грузовая машина встретила на дороге «Москвич», который принял почту и, не задерживаясь, повернул обратно. В почтовое отделение «Москвич» прибыл на 20 минут раньше, чем обычно. На сколько минут раньше установленного срока приземлился самолёт?

Ответ Решение

Ответ. На 40 минут.

Решение. «Москвич» прибыл в почтовое отделение на 20 минут раньше из-за того, что не проехал расстояние от места своей встречи с грузовиком до аэродрома и обратно. Значит, в одну сторону он проехал бы это расстояние за 10 минут и приехал бы на аэродром как раз к запланированному времени прилёта самолёта. То есть самолёт должен был прилететь через 10 минут после момента встречи «Москвича» и грузовика. А на самом деле самолёт прилетел за 30 минут до момента встречи «Москвича» и грузовика. Стало быть, самолёт прилетел на 10 + 30 = 40 минут раньше установленного срока.

9.

Два парома одновременно отходят от противоположных берегов реки и пересекают её перпендикулярно берегам. Скорости паромов постоянны, но не равны. Паромы встречаются на расстоянии 720 метров от берега, после чего продолжают движение. На обратном пути они встречаются в 400 метрах от другого берега. Какова ширина реки?

Ответ Решение

Ответ. 1760 м.

Решение.

От момента отправления до первой встречи паромы в общей сложности проплывают расстояние, равное ширине реки. От момента отправления до второй встречи они в общей сложности проплывают расстояние, равное утроенной ширине реки (проверьте!), то есть втрое больше, чем до момента первой встречи. Поскольку паромы всё время плывут с постоянными скоростями, каждый из них до момента второй встречи также проплывёт втрое больше, чем до момента первой встречи.

Обозначим за S ширину реки. Тогда до момента первой встречи один из паромов проплыл 720 м, а до момента второй встречи он проплыл S + 400 м. С учётом сказанного выше можно составить уравнение: S + 400 = 3·720. Решая это уравнение, найдём S = 3·720 − 400 = 2160 − 400 = 1760.

10.

Артели косцов надо было скосить два луга, один из которых вдвое больше другого. Половину дня вся артель косила большой луг. После полудня артель разделилась пополам: первая половина осталась на лугу и докосила его к вечеру до конца, а вторая половина косила малый луг, на котором к вечеру остался участок, скошенный на другой день одним косцом, проработавшим целый день. Сколько косцов было в артели?

Ответ Решение

Ответ. 8.

Решение. Обозначим за x часть большого луга, которую половина артели скосила за полдня. Тогда целая артель за полдня скосила 2x, а всего за первый день на большом лугу было скошено 3x. Принимая весь большой луг за единицу, получим уравнение 3x = 1, откуда x = 1/3. То есть за полдня половина артели скосит треть большого луга. Поскольку маленький луг вдвое меньше большого, другая половина артели за те же полдня скосит столько же, то есть две трети маленького луга. Наконец, последнее условие задачи даёт, что оставшуюся треть маленького луга один косец скосил за день. Половина артели скосила вдвое больше за вдвое меньшее время, значит, в половине артели 1·2·2 = 4 человека, а во всей артели 8 человек.