МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 2. Ацнок с зиланА

Бывает, что задом наперед ходить удобнее

Рак

1.

Дядюшка Мокус ушёл из цирка и уехал в Алжир выращивать кофе. Он заметил, что каждые три дня количество зёрен на кофейном дереве удваивалось. Через 51 день дядюшка Мокус смог собрать с дерева полный мешок зёрен. Через сколько дней он смог бы собрать два таких мешка, если бы у него было четыре кофейных дерева?

Ответ Решение

Ответ. Через 48 дней.

Решение. Собрать два мешка зёрен с четырёх деревьев можно, когда на каждом из них вырастет по полмешка зёрен. А полмешка на одном дереве вырастает за 51 − 3 = 48 дней.

2.

Юля задумала натуральное число, вычла из него 5, умножила полученное число на 16, зачеркнула последнюю цифру результата, полученное число умножила на 17, зачеркнула предпоследнюю цифру результата и получила 51. Какое число задумала Юля?

Ответ Решение

Ответ. 26.

Решение. Число, которое было у Юли перед последним зачёркиванием цифры, должно было делиться на 17 (так как получилось после умножения чего-то на 17). Из чисел 501, 511, 521, ..., 591 только число 561 делится на 17. Значит, до умножения на 17 у Юли было число 561 : 17 = 33. Оно получилось после зачёркивания последней цифры какого-то числа, которое делилось на 16 (потому что было получено на предыдущем шаге путём умножения чего-то на 16. Из чисел 330, 331, 332, ..., 339 только число 336 делится на 16. Значит, до умножения на 16 у Юли было число 336 : 16 = 21. А оно было получено из задуманного вычитанием пяти. Так что задуманное число равно 21 + 5 = 26.

3.

Путешественник в первый день прошёл пятую часть всего пути и ещё 2 км. Во второй день он прошёл половину остатка и ещё 1 км. В третий день — четверть оставшегося расстояния и ещё 3 км. Остальные 18 км пришлись на четвёртый день. Найдите длину пути.

Ответ Решение

Ответ. 75 км.

Решение. В третий день путешественник прошёл четверть оставшегося расстояния и ещё 3 км. Значит, остальные три четверти оставшегося расстояния — это 3 + 18 = 21 км. Поэтому всё расстоние, которое осталось пройти путешественнику к началу третьего дня, равно 21 : 3 · 4 = 28 км. Во второй день он прошёл половину остатка и ещё 1 км. Значит, вторая половина остатка равна 28 + 1 = 29 км, а всего к началу второго дня ему оставалось пройти 29 · 2= 58 км. В первый день путешественник прошёл пятую часть всего пути и ещё 2 км. Значит, остальные четыре пятых оставшегося пути равны 2 + 58 = 60 км. А тогда весь путь равен 60 : 4 · 5 = 75 км.

4.

Девочки пришли на праздник в платьях трёх цветов: белых, розовых и жёлтых. Чтобы сделать красивую фотографию, фотограф сначала расставил девочек в белых платьях, а затем в каждый промежуток между ними поставил девочек в розовых платьях. Наконец, в каждый промежуток между девочками встали девочки в жёлтых платьях. В итоге сфотографировалась 41 девочка. Сколько девочек пришли на праздник в белых платьях?

Ответ Решение

Ответ. 11 девочек.

Решение.

Посмотрим на 41 девочку. Всех девочек, кроме последней, можно разбить на пары так, чтобы в каждой паре одна девочка была в жёлтом платье, а другая — в платье какого-то другого цвета. (На пары девочек можно разбивать прямо в том порядке, как они стоят.) Парами стоят 40 девочек, а в жёлтых платьях — полвина из них, то есть 20.

Теперь уберем из колонны девочек в жёлтых платьях. Останется 21 девочка. Всех, кроме последней, опять можно разбить на пары (в том порядке, как они стоят), при этом в каждой паре одна девочка будет в белом платье, а другая — в розовом. Значит, девочек в розовом будет 10, и столько же будет девочек в белом. Девочка, оставшаяся без пары, одета в белое платье. Значит, всего девочек в белых платьях будет 11.

5.

Все натуральные числа от 1 до 1000 выписали в следующем порядке. Сначала были выписаны в порядке возрастания числа, сумма цифр которых равна 1, затем (также в порядке возрастания) — числа, сумма цифр которых равна 2, потом — числа, сумма цифр которых равна 3, и т. д.. На каком месте оказалось число 996?

Ответ Решение

Ответ. На 990-м.

Решение. Сумма цифр числа 996 равна 24. Причём 996 — самое большое из выписанных с такой суммой цифр (так как в первых двух разрядах стоят максимально большие цифры). Значит, после числа 996 выписаны только числа с суммой цифр 25, 26 и 27. Это 997, 979, 799, 988, 898, 889; 998, 989, 899; 999. Таким образом, перед числом 996 написано 10 чисел, значит, оно оказалось на 990-м месте.

6.

Клетчатая доска 8×8 выложена плитками домино 1×2. Докажите, что какие-то две из них образуют квадрат из четырёх клеток.

Решение

Решение. Предположим, что никакие две доминошки не образуют квадрат из четырёх клеток. Попробуем выяснить, как расположены доминошки в этом случае. Будем считать, что в верхнем левом углу лежит горизонтальная доминошка. Тогда ниже неё лежит вертикальная доминошка (см. рисунок). Справа от этой доминошки тоже лежит горизонтальная доминошка, и так далее. Спускаясь таким образом по диагонали, дойдём до правого нижнего угла квадрата. Этот угол можно заполнить, только положив тужа две доминошки, которые будут образовывать квадрат. Значит, наше предположение было неверным. Полученное противоречие доказывает требуемое утверждение.

7.

Натуральное число можно умножать на два и произвольным образом переставлять в нём цифры (запрещается лишь ставить ноль на первое место). Можно ли превратить число 1 в число 631 с помощью таких операций?

Ответ Решение

Ответ. Можно.

Решение. Вот одно из возможных решений: 1 → 2 → 4 → 8 → 16 → 32 → 64 → 128 → 218 → 436 → 346 → 692 → 296 → 592 → 259 → 518 → 158 → 316 → 631. Попробуйте самостоятельно найти какое-нибудь другое решение.

8.

При дворе принца Лимона служили герцоги, графы и бароны. В начале правления принца придворных было 2012, но каждый один из них убивал другого на дуэли, причем герцоги убивали только графов, графы — только баронов, а бароны — только герцогов. При этом никто не выиграл дуэль дважды. В конце концов остался в живых лишь барон Апельсин. Какой титул был у первого погибшего придворного?

Ответ Решение

Ответ. Герцог.

Решение. Так как в конце концов остался жив барон (Б), то он мог сражаться только с герцогом (Г). Так как дуэль выигрывают только один раз, то этот барон больше ни в каких дуэлях не участвовал. А герцог до этого мог сражаться только с графом (Гр). Получаем цепочку Б → Г → Гр. Аналогично, граф мог сражаться только с бароном. Выписывая эту цепочку дальше, получаем: Б → Г → Гр → Б → Г → Гр → Б → Г → Гр → Б ... Поскольку 2012 = 3 · 670 + 2, в этой цепочке будет 670 комбинаций Б → Гр → Г, после которых в цепочке будут ещё двое придворных, а имеенно Б → Г. Таким образом, первый погибший придворный был герцогом (Г).