МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Руководители Дмитрий Владимирович Трущин и Михаил Владимирович Шеблаев
2012/2013 учебный год

Движение (27 октября 2012 года)

1.: Две ракеты вылетают навстречу друг другу из точек, находящихся на расстоянии 199919 км. Одна из них летит со скоростью 12000 км/ч, другая – со скоростью 18000 км/ч. На каком расстоянии они будут за минуту до встречи?
Ответ Решение

Ответ. 500 км

Решение. Скорость сближения ракет равна 12000 + 18000 = 30000 км/ч. За минуту до встречи между ними будет такое расстояние, на которое они сблизятся ровно за эту минуту, то есть нужно скорость сближения умножить на время (и неважно, какое расстояние было между ними сначала!). Не забудем перевести всё к одним единицам измерения, для чего заметим, что за минуту ракеты сблизятся на в 60 раз меньшее расстояние, чем за час, то есть скорость в км/мин будет в 60 раз меньше скорости в км/ч:
30000 км/ч · 1 мин = 500 км/мин · 1 мин = 500 км.
2.: После того, как туристы прошли 1 км, а затем половину оставшегося пути, им осталось пройти треть всего пути и 1 км. Чему равен весь путь?
Ответ Решение

Ответ. 9 км

Решение. Обозначим длину пути за S км. Тогда, после того, как туристы прошли 1 км, им осталось S − 1 км, половина от этого равна ^{(S − 1)}/₂, значит, уравнение будет выглядеть так:
\(S - 1 - \frac{(S - 1)}{2} = \frac{S}{3} + 1\)
\(S - \frac{S}{2} + \frac{1}{2} - \frac{S}{3} = 1 + 1\)
\(S - \frac{3S}{6} - \frac{2S}{6} = 2 - \frac{1}{2}\)
\(S - \frac{5S}{6} = \frac{3}{2}\)
\(\frac{S}{6} = \frac{3}{2}\)
\(S = 9\) (км).
3.: На трассе через равные промежутки установлены фонари. Фикс проезжает от первого фонаря до четвертого за 12сек. За какое время он проедет от первого фонаря до шестнадцатого, если не изменит скорость?
Ответ Указание

Ответ. 1 мин

Указание. Вспомните тему «Плюс-минус один» нужно учитывать не количество проеханных фонарей, а количество промежутков между ними.
4.: Фогг и Фикс одновременно отправились из А в В. Фогг поехал на велосипеде, а Фикс – на автомобиле со скоростью, в пять раз большей, чем скорость велосипеда. На полпути автомобиль сломался и оставшуюся часть пути Фикс прошел пешком со скоростью в два раза меньшей скорости велосипедиста. Кто прибыл раньше: Филиас Фогг или Фикс?
Ответ Указание Решение

Ответ. Фогг

Указание. Обозначьте все неизвестные величины буквами. Напишите выражения для времени в пути Фогга и для Фикса и сравните их. При сравнении значения неизвестных величин окажутся неважны.

Решение. Пусть длина пути равна S, а скорость велосипеда равна v. Тогда скорость автомобиля равна 5v. Время в пути:
Фогг: \(\frac{S}{v}\)
Фикс: \(\frac{(S / 2)}{(5 v)} + \frac{(S / 2)}{(v / 2)} = (\frac{1}{10} + 1) \cdot \frac{S}{v}\)
Итак, время в пути для Фикса в \(1 \frac{1}{10}\) раз больше, чем для Фогга, поэтому Фогг приедет раньше.
5.: Мышке до норки по прямой 20 шагов. Кошке до мышки по той же прямой 5 прыжков. Пока кошка совершает 1 прыжок, мышка делает 3 шажка, но один кошачий прыжок такой же длинный, как 10 мышиных шажков. Догонит ли кошка мышку?
Ответ Указание Решение

Ответ. нет

Указание. Сравните время, необходимое мышке, чтобы добраться до норки, и кошке, чтобы добраться до мыши (чтобы его найти, полезно рассмотреть расстояние между мышью и кошкой и скорость их сближения; получится задача, аналогичная предыдущей).

Решение.
Будем измерять расстояния в мышиных шажках, скорости — в мышиных шажках за раз. Время, нужное мышке, равно 20/3 = 6 2/3. Найдём время, нужное кошке: до мышки ей 5 · 10 = 50 мышиных шажков, а скорость сближения равна разности скоростей кошки и мышки (так как они обе бегут в одну сторону) 10 - 3 = 7 шажков за раз. Тогда кошке нужно 50/7 = 7 1/7 единиц времени, что больше.

Ответ: нет.
6.: Когда мистер Фикс проехал половину всего пути, то лег спать и проснулся только тогда, когда осталось ехать половину того пути, что он проехал спящим. Сколько часов он спал, если он ехал всего 18 часов?
Ответ Решение

Ответ. 6 ч

Решение. Половину пути он проехал за 18/2 = 9 часов. За это время он спал x часов и ещё 9 − x часов проезжал половину пути, который он проехал спящим (то есть это время вдвое меньше, чем время сна):
9 − x = x⁄2
3x⁄2 = 9
x = 6 (часов).
7.: Из города в деревню одновременно вышли два пешехода, один из них половину затраченного времени шел со скоростью 5км/ч, а вторую половину – со скоростью 4 км/ч. Второй же пешеход первую половину пути шел со скоростью 4 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 5 км/ч. Кто из пешеходов придет в деревню раньше?
Ответ Решение

Ответ. Первый

Решение. Для первого пешехода удобно выразить путь S через время его похода t₁:
\(S = 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot t_1 + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot t_1 = \frac{(5 + 4)}{2} \cdot t_1 = \frac{9}{2} \cdot t_1\)
\(t_1 = \frac{2}{9} \cdot S = \frac{80}{(9 \cdot 40)} \cdot S\)
Для второго удобно сразу написать время в пути t₂:
\(t_2 = \frac{(S / 2)}{4} + \frac{(S / 2)}{5} = (\frac{1}{8} + \frac{1}{10}) \cdot S = \frac{18}{80} \cdot S = \frac{9}{40} \cdot S = \frac{81}{(9 \cdot 40)} \cdot S\)
Видим, что t₁ < t₂, так как 80 < 81. Значит, первый пешеход, затратив на путь меньше времени, придёт раньше.
8.: Два поезда одновременно выехали навстречу друг другу. На стекле одного из них сидела муха. В тот момент, когда поезда тронулись, она взлетела и полетела к другому поезду. Долетев до него, она тут же развернулась и полетела обратно и т.д. Так она летала как угорелая до тех пор, пока поезда не столкнулись и не раздавили муху. Какое расстояние пролетела муха, если скорость первого поезда 40км/ч, скорость второго – 60км/ч, расстояние между городами 2000км, а скорость мухи 100км/ч.
Ответ Решение

Ответ. 2000 км

Решение. Расстояние = скорость × время. Чтобы его найти, не хватает времени, которое муха была в полёте.


	МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА НАША КОМАНДА О КРУЖКАХ РАСПИСАНИЕ ВОПРОС-ОТВЕТ ЛЕКЦИИ МАТЕРИАЛЫ ЗАНЯТИЙ 5 класс 6 класс 7 класс 8 класс Перечневые олимпиады 2-3 уровень АРХИВ МАЛЫЙ МЕХМАТ — ШКОЛЕ ЛИТЕРАТУРА ССЫЛКИ	Кружок 5 класса Руководители Дмитрий Владимирович Трущин и Михаил Владимирович Шеблаев 2012/2013 учебный год Движение (27 октября 2012 года) 1. Две ракеты вылетают навстречу друг другу из точек, находящихся на расстоянии 199919 км. Одна из них летит со скоростью 12000 км/ч, другая – со скоростью 18000 км/ч. На каком расстоянии они будут за минуту до встречи? Ответ Решение Ответ. 500 км Решение. Скорость сближения ракет равна 12000 + 18000 = 30000 км/ч. За минуту до встречи между ними будет такое расстояние, на которое они сблизятся ровно за эту минуту, то есть нужно скорость сближения умножить на время (и неважно, какое расстояние было между ними сначала!). Не забудем перевести всё к одним единицам измерения, для чего заметим, что за минуту ракеты сблизятся на в 60 раз меньшее расстояние, чем за час, то есть скорость в км/мин будет в 60 раз меньше скорости в км/ч: 30000 км/ч · 1 мин = 500 км/мин · 1 мин = 500 км. 2. После того, как туристы прошли 1 км, а затем половину оставшегося пути, им осталось пройти треть всего пути и 1 км. Чему равен весь путь? Ответ Решение Ответ. 9 км Решение. Обозначим длину пути за `S` км. Тогда, после того, как туристы прошли 1 км, им осталось `S` − 1 км, половина от этого равна ^{(S − 1)}/₂, значит, уравнение будет выглядеть так: \(S - 1 - \frac{(S - 1)}{2} = \frac{S}{3} + 1\) \(S - \frac{S}{2} + \frac{1}{2} - \frac{S}{3} = 1 + 1\) \(S - \frac{3S}{6} - \frac{2S}{6} = 2 - \frac{1}{2}\) \(S - \frac{5S}{6} = \frac{3}{2}\) \(\frac{S}{6} = \frac{3}{2}\) \(S = 9\) (км). 3. На трассе через равные промежутки установлены фонари. Фикс проезжает от первого фонаря до четвертого за 12сек. За какое время он проедет от первого фонаря до шестнадцатого, если не изменит скорость? Ответ Указание Ответ. 1 мин Указание. Вспомните тему «Плюс-минус один» нужно учитывать не количество проеханных фонарей, а количество промежутков между ними. 4. Фогг и Фикс одновременно отправились из А в В. Фогг поехал на велосипеде, а Фикс – на автомобиле со скоростью, в пять раз большей, чем скорость велосипеда. На полпути автомобиль сломался и оставшуюся часть пути Фикс прошел пешком со скоростью в два раза меньшей скорости велосипедиста. Кто прибыл раньше: Филиас Фогг или Фикс? Ответ Указание Решение Ответ. Фогг Указание. Обозначьте все неизвестные величины буквами. Напишите выражения для времени в пути Фогга и для Фикса и сравните их. При сравнении значения неизвестных величин окажутся неважны. Решение. Пусть длина пути равна `S`, а скорость велосипеда равна `v`. Тогда скорость автомобиля равна 5`v`. Время в пути: Фогг: \(\frac{S}{v}\) Фикс: \(\frac{(S / 2)}{(5 v)} + \frac{(S / 2)}{(v / 2)} = (\frac{1}{10} + 1) \cdot \frac{S}{v}\) Итак, время в пути для Фикса в \(1 \frac{1}{10}\) раз больше, чем для Фогга, поэтому Фогг приедет раньше. 5. Мышке до норки по прямой 20 шагов. Кошке до мышки по той же прямой 5 прыжков. Пока кошка совершает 1 прыжок, мышка делает 3 шажка, но один кошачий прыжок такой же длинный, как 10 мышиных шажков. Догонит ли кошка мышку? Ответ Указание Решение Ответ. нет Указание. Сравните время, необходимое мышке, чтобы добраться до норки, и кошке, чтобы добраться до мыши (чтобы его найти, полезно рассмотреть расстояние между мышью и кошкой и скорость их сближения; получится задача, аналогичная предыдущей). Решение. Будем измерять расстояния в мышиных шажках, скорости — в мышиных шажках за раз. Время, нужное мышке, равно 20/3 = 6 2/3. Найдём время, нужное кошке: до мышки ей 5 · 10 = 50 мышиных шажков, а скорость сближения равна разности скоростей кошки и мышки (так как они обе бегут в одну сторону) 10 - 3 = 7 шажков за раз. Тогда кошке нужно 50/7 = 7 1/7 единиц времени, что больше. Ответ: нет. 6. Когда мистер Фикс проехал половину всего пути, то лег спать и проснулся только тогда, когда осталось ехать половину того пути, что он проехал спящим. Сколько часов он спал, если он ехал всего 18 часов? Ответ Решение Ответ. 6 ч Решение. Половину пути он проехал за 18/2 = 9 часов. За это время он спал `x` часов и ещё 9 − `x` часов проезжал половину пути, который он проехал спящим (то есть это время вдвое меньше, чем время сна): 9 − `x` = `x`⁄2 3`x`⁄2 = 9 `x` = 6 (часов). 7. Из города в деревню одновременно вышли два пешехода, один из них половину затраченного времени шел со скоростью 5км/ч, а вторую половину – со скоростью 4 км/ч. Второй же пешеход первую половину пути шел со скоростью 4 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 5 км/ч. Кто из пешеходов придет в деревню раньше? Ответ Решение Ответ. Первый Решение. Для первого пешехода удобно выразить путь `S` через время его похода `t`₁: \(S = 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot t_1 + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot t_1 = \frac{(5 + 4)}{2} \cdot t_1 = \frac{9}{2} \cdot t_1\) \(t_1 = \frac{2}{9} \cdot S = \frac{80}{(9 \cdot 40)} \cdot S\) Для второго удобно сразу написать время в пути `t`₂: \(t_2 = \frac{(S / 2)}{4} + \frac{(S / 2)}{5} = (\frac{1}{8} + \frac{1}{10}) \cdot S = \frac{18}{80} \cdot S = \frac{9}{40} \cdot S = \frac{81}{(9 \cdot 40)} \cdot S\) Видим, что `t`₁ < `t`₂, так как 80 < 81. Значит, первый пешеход, затратив на путь меньше времени, придёт раньше. 8. Два поезда одновременно выехали навстречу друг другу. На стекле одного из них сидела муха. В тот момент, когда поезда тронулись, она взлетела и полетела к другому поезду. Долетев до него, она тут же развернулась и полетела обратно и т.д. Так она летала как угорелая до тех пор, пока поезда не столкнулись и не раздавили муху. Какое расстояние пролетела муха, если скорость первого поезда 40км/ч, скорость второго – 60км/ч, расстояние между городами 2000км, а скорость мухи 100км/ч. Ответ Решение Ответ. 2000 км Решение. Расстояние = скорость × время. Чтобы его найти, не хватает времени, которое муха была в полёте.	ЗАДАЧИ 5 класс Плюс-минус один Обратный ход Посчитай-ка Скобки и знаки Рыцари и лжецы Движение Движение (доп. задачи) Факториал Комбинаторика (доп. задачи) Математическая абака Комбинаторика Козы Переливания Предновогодний Оливье Математическая карусель Всюду идут дороги Разные задачи Разрезалки Круги Эйлера Принцесса или тигр Магические фигуры Двумя способами Конструкции ЗАДАЧИ ауд. П3 (рук. Л. А. Попов)