МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Задачи на переливания (1 декабря 2012 года)

Знаменитый алхимик Йфаффель Цепустролис после многочисленных экспериментов и вычислений составил рецепт эликсира, при помощи которого свинец можно превратить в золото. Однако, для успеха необходимо точно отмеренное количество каждого из ингридиентов, а малейшая ошибка приведет к неудаче. И хотя в лаборатории имеется огромное число колб, пробирок, склянок и реторт, далеко не всегда можно отыскать ту ёмкость, которая имеет необходимый объём.

Традиционно в задачах на переливания сосуды не имеют делений, то есть переливать можно только до тех пор, пока сосуд, в который наливаем, не заполнится до конца, либо пока совсем не опустеет сосуд, из которого переливаем. Просто так остановиться на середине или разлить содержимое сосуда на две равные части тоже не получится.

1.

Рядом с лабораторией протекает бурная река. Как при помощи двух бочек объёмом 3 и 5 галлонов отмерить ровно 4 галлона речной воды?

Указание Решение

Указание. На самом деле в этой задаче 3 сосуда: 3-хгаллонный, 5-тигалонный и река, куда тоже можно выливать воду из сосудов.

Решение. 4 галлона могут поместиться только в 5-тигаллонный сосуд. Они могут быть получены после доливания 1 галлона к 3, 2 галлонов к 2, 3 галлонов к 1, либо путём отливания от 5 галлонов 1 галлона. Чтобы можно было отлить ровно 1 галлон, нужно, чтобы в бочке назначения был свободен ровно 1 галлон, то есть чтобы в 3х-галлонной бочке перед этим было 2 галлона. Разность объёмов бочек легко получить: 2 галлона получаются, если набрать полную 5ти-галлонную бочку и отлить из неё в пустую 3х-галлонную бочку. После этого их надо перелить в 3х-галлонную бочку, предварительно опорожнив её обратно в реку. Итак, ответ может быть записан так (в каждом столбце текущая наполненность бочки, стрелками обозначены наливания и отливания; в первой строке в скобках написаны ёмкости бочек):

(max 3H)	(max 5H)	(РЕКА)
0	0 ↓	↑
0 ↓	5 ↑
3 ↑	2	↓
0 ↓	2 ↑
2	0 ↓	↑
2 ↓	5 ↑
3	4

2.

У Цепустролиса есть нерастворимая колба, в которой содержится 12 миллилитров серной кислоты, а также две нерастворимые мензурки объёмом 5 и 7 миллилитров. Как ему получить две порции по 6 миллилитров серной кислоты, необходимых для опыта? (Кислота растворит любую другую посуду в лаборатории.)

Указание Решение

Указание. Может помочь решение пятой задачи.

Решение.

(max 12ml)	(max 5ml)	(max 7ml)
12 ↑	0	0 ↓
5	0 ↓	7 ↑
5 ↓	5 ↑	2
10	0 ↓	2 ↑
10 ↑	2	0 ↓
3	2 ↓	7 ↑
3 ↓	5 ↑	4
8	0 ↓	4 ↑
8 ↑	4	0 ↓
1	4 ↓	7 ↑
1 ↓	5 ↑	6
6	0	6

3.

Однажды алхимику удалось в одном сосуде собрать и смешать 8 слезинок саламандры (важнейшую алхимическую субстанцию). У него есть два пустых флакона объёмом 2 и 3 слезинки. Как ему отмерить 4 слезинки? Не забывайте, что слёзы высыхают очень быстро! У Цепустролиса есть время только на три переливания, прежде чем редкое вещество испарится.

Указание

Указание. 4 = 2 + 2

4.

Еще одним важным элементом эликсира является кровь кобры. В чаше собрано 10 ложек змеиной крови. Имеются ковши объемом 3 ложки и 4 ложки. Как ученому получить 5 ложек крови? Решая задачу, помните, что нужно сделать не более 5 переливаний, иначе драгоценная кровь свернётся и перестанет быть годной.

Решение

Решение.

(ЧАША)	(3 л.)	(4 л.)
10 ↑	0	0 ↓
6	0 ↓	4 ↑
6 ↓	3 ↑	1
9	0 ↓	1 ↑
9 ↑	1	0 ↓
5	1	4

5.

В подвале лаборатории растут мандрагоры и имеется неограниченный запас мандрагорового экстракта. Как при помощи мензурок из задачи №2 отмерить 4 миллилитра мандрагорового экстракта? Но берегитесь! Если ни на одном из этапов ни в одной из мензурок не окажется ровно 3 миллилитра экстракта, мандрагоры закатят истерику и криками разрушат лабораторию!

Указание

Указание. Объёмы, равные разностям ёмкостей сосудов, отмерять легко:
2 = 7 - 5
Тогда удобно выразить
4 = 2 + 2

6.

В лабораторной печи находится котел, в котором бурлит 9 литров расплавленного олова. В процессе эксперимента нужно через равные промежутки времени трижды добавлять в эликсир по 3 литра олова. Как осуществить это, если в наличии только три огнеупорных кубка объемом 5, 4 и 2 литра? (То есть нужно иметь в какой-то момент 3 порции по 3 литра.)

Указание

Указание. 3 = 5 - 2
Хранить полученную первой порцию, чтобы освободить сосуды для получения следующей, можно в оставшемся ненужным четырёхлитровом сосуде.