МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Математическая абака (10 ноября 2012 года)

Правила

Игроки разделяются на команды по 3-4 человека. Каждая команда сразу получает условия всех задач. Задачи разделяются по 6 темам, в каждой теме находится по одной задаче каждого из 6 уровней сложности: в 10, 20, 30, 40, 50, 60 баллов.

Команда не может сдавать задачу, если она не пыталась сдать все предыдущие задачи в этой теме (неважно, были они правильно решены, или нет). Сдавать каждую задачу можно только с одной попытки — если она решена неправильно, то она больше не засчитывается, однако команда получает возможность сдать следующую задачу в этой теме.

Баллы начисляются за правильно решённые задачи в зависимости от их сложности. Также существуют бонусы по 50 баллов за все правильно решённые задачи каждой темы и по X баллов за правильно решённые задачи всех тем сложности X. На игру отводится ровно 90 минут, после чего побеждает команда, набравшая большее количество баллов.

Задачи

Судоку

В судоку необходимо заполнить пустые клетки цифрами от 1 до 9 (в первой задаче — фигурами 4 видов) так, чтобы в каждой строке и каждом столбце, а также в каждой отделённой жирными границами зоне было ровно по одной цифре (фигуре) каждого вида.

10

В этой задаче вместо цифр используются фигуры 4 видов (четвёртый вид фигур можно придумать самостоятельно, так как он не задан в условии).

20

30

40

50

60

Логика

10

Илюша получил пятерку по литературе и истории. Аннушка сказала: "Илюша получил пятерку по истории или по биологии". Уж не соврала ли Аннушка?

20

Правда ли, что в этом помещении все драконы добрые?

30

Ниф-ниф, Наф-наф и Нуф-нуф пришли в казино в серебряной, золотой и платиновой цепях. Перстни у них были из тех же металлов. У Ниф-нифа цепь и перстень были изготовлены из одинакового металла. У Наф-нафа ни цепь, ни перстень не были серебряными. У Нуф-нуфа цепь была из платины, а перстень не из платины. У кого из чего были изготовлены украшения?

40

За круглым столом сидят 10 человек. Требуется установить, сколько рыцарей может быть за столом, если каждый из сидящих произносит одну и ту же фразу: «Оба моих соседа — лжецы».

50

В одной из конференций участвовали 30 физиков и 20 химиков. При этом среди физиков было 10 лжецов. Участники конференции сидели за круглым столом и по окончании журналист местной газеты спросил каждого, кто был его соседом справа. Все участники конференции ответили одинаково — химик. А сколько лжецов было среди химиков?

60

Путешественник попал на заседание парламента, который состоял из 100 человек. У него на глазах 60 парламентариев по одному покинули зал заседания и каждый заявлял журналистам: «Среди оставшихся депутатов лживых больше, чем правдивых». А сколько на самом деле правдивых депутатов насчитывает логиканский парламент?

Комбинаторика

10

Из двух маткружков, в каждом из которых по 23 участника, нужно выделить по одному человеку на олимпиаду. Сколько способов это сделать?

20

Царь, царевич, король, королевич, сапожник и портной хотят сесть в ряд на верхней ступеньке златого крыльца. Сколькими способами они могут это сделать?

30

Вася хочет развесить на веревке футболки: 3 синих , белую и желтую. Одноцветные футболки одинаковы. Сколько способов сделать это есть у Васи?

40

Сколькими способами можно из точки А добраться до точки В, двигаясь по стрелкам?

50

Сколькими способами можно указать на шахматной доске два квадрата: черный и белый, не лежащие на одной вертикали и горизонтали?

60

Сколько различных (математических) аккордов можно взять на 10 выбранных клавишах рояля, если каждый аккорд содержит от 3 до 10 звуков?

Текстовые задачи

10

Несколько гномов, навьючив свою поклажу на пони, отправились в дальний путь. Их заметили тролли, которые насчитали в караване 36 ног и 15 голов. Сколько было гномов, и сколько пони?

20

Дедка вдвое сильнее Бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вшестеро сильнее Мышки. Дедка, Бабка, Внучка, Жучка и Кошка вместе с Мышкой могут вытащить Репку, а без Мышки — не могут. Сколько надо позвать Мышек, чтобы они смогли сами вытащить Репку?

30

На лужайке росли 35 жёлтых и белых одуванчиков. После того как 8 белых облетели, а 2 жёлтых побелели, жёлтых одуванчиков стало вдвое больше, чем белых. Сколько белых и сколько жёлтых одуванчиков росло на лужайке вначале?

40

В классе 25 учеников. Известно, что у любых двух девочек класса количество друзей-мальчиков из этого класса не совпадает. Какое наибольшее количество девочек может быть в этом классе?

50

Два десятка лимонов стоят столько же рублей, сколько лимонов дают на 500 рублей. Сколько стоит десяток лимонов?

60

В мешке 70 шаров, отличающихся только цветом: 20 красных, 20 синих, 20 желтых, остальные — черные и белые. Какое наименьшее число шаров надо вынуть из мешка, не видя их, чтобы среди них было не менее 10 шаров одного цвета?

Геометрия

10

На чертеже изображён маршрут лыжной прогулки и некоторые расстояния (в км) между поворотами. Найдите полную длину дистанции лыжников.

20

Разрежьте прямоугольник, нарисованный на клеточной бумаге, со сторонами 4 и 9 клеток на 2 одинаковые части, из которых можно сложить квадрат. Разрез должен проходить по сторонам клеток.

30

Все стороны фигуры (не известно, какой) уменьшили вшестеро. Во сколько раз уменьшилась площадь?

40

Нарисуйте фигуру, у которой ровно 5 осей симметрии.

50

Найдите объём фигуры на рисунке, если её ширина 2м, длина 2м, высота 3м. (пунктиром обозначены невидимые стороны)

60

Разрежьте фигуру на 2 одинаковые части так, чтобы в одной были все крестики, а в другой – все нолики.

Расстановки скобок и знаков

10

Расставьте знаки действий, где это необходимо, чтобы равенство стало верным: 2 0 1 2 = 18

20

Расставьте в снежинке все цифры от 1 до 7 так, чтобы все суммы по три числа на отрезках были одинаковыми:

30

Решите ребус (одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным - разные):

	У	Д	А	Р
+	У	Д	А	Р
_	_	_	_	_
Д	Р	А	К	А

40

Расставьте числа от 1 до 12 в кружки так, чтобы каждая стрелка вела от большего числа к меньшему.

50

Расставьте числа в пропуски так, чтобы сумма любых четырёх чисел, идущих подряд, равнялась 29:
15 _ _ _ _ _ _ 7 _ 3

60

Вася написал на доске 9 троек в ряд и перед каждой цифрой, включая первую, поставил знак «+» или «–», а потом расставил пары скобок, сколько ему вздумалось. Петя подошёл и посчитал значение получившегося выражения. Сколько возможных ответов он мог получить?

Ответы

Судоку Логика Комбинаторика Текстовые задачи Геометрия Расстановки

Судоку. Проверить выполнение правил самостоятельно.

Логика. 10. Нет, не соврала.
20. Да, правда. Несуществующие объекты могут обладать любыми наперёд заданными свойствами. Важное примечание: это связано с математическим понятием импликации, как называется логическая операция вида "Из А следует Б". Утверждение, что "из А следует Б" неверно, если А выполнено, а Б — нет. Но, если А не выполнено, то оно не будет опровергнуто и останется верным вне зависимости от того, верно Б или нет: это утверждение обещало, что будет Б, только при условии А, а если А не выполнено, но и Б оно не обязано давать. Например, мама обещала Пете, что за каждую пятёрку в школе будет давать ему по конфете. Но если сегодня Петя не получил пятёрок, то и конфету мама ему давать не обязана. Её утверждение, что "из пятёрки следует конфета" останется при этом истинным.
30.
Ниф-ниф: серебряные перстень и цепь.
Наф-Наф: золотая цепь и платиновый перстень.
Нуф-нуф: платиновая цепь и золотой перстень.
40. 4 или 5 (Какими могут быть соседи рыцаря? А лжеца?)
50. 20
60. 50

Комбинаторика. 10. 23 · 23 = 529
20. 6! = 720
30. 20
40. 129 (Около каждой точки напишем количество способов добраться до неё из начальной. Начнём с ближайших к ней точек. Для каждой последующей точки нужно сложить количества способов прийти в неё из предыдущих, при этом, если какая-то предыдущая точка связана с ней несколькими разными дорогами, то количество способов добраться до предыдущей нужно умножить на число этих дорог. В итоге в задаче нужно только складывать и умножать числа.)
50. 32 · 24 = 768
60. \(2^10 - 45 - 10 - 1 = 968\), где \(a^b\) обозначает \(a\) в степени \(b\), то есть произведение из \(b\) штук сомножителей, каждый из которых равен \(a\).

Текстовые задачи. 10. 12 гномов, 3 пони. (Пар ног было насчитано 36 : 2 = 18. Всего голов 15. У гнома одна пара ног, у пони две, то есть каждая "лишняя" сверх числа голов пара ног принадлежит пони. Тогда пони 18 - 15 = 3, оставшиеся 15 - 3 = 12 голов — гномьи.)
20. 1237
30. 20 жёлтых и 15 белых.
40. 13 (В крайнем случае девочки в классе имеют соответственно 0, 1, 2, 3... n друзей. У последней n-той девочки друзьями будут все мальчики класса. Тогда девочек будет на 1 больше, чем максимальное количество возможных друзей-мальчиков. Вспомним про суммарное ограничение: n + (n-1) = 25, откуда n = 13.)
50. 50 рублей
60. 38 (10 чёрных или 10 белых шаров не наберутся никогда, так как чёрных шаров всего меньше 10 и белых тоже (чёрных и белых в сумме 70 - 20 - 20 - 20 = 10 штук). Сколько максимум можно вытащить шаров, чтобы среди них не было 10 одинаковых? Вытаскиваем все 10 белых и чёрных и по 9 каждого из 3 других цветов, всего 37. Если вытащить ещё хоть один шар, то окажется 10 шаров какого-то цвета, то есть ответ — 38.)

Геометрия. 10. 28
20. Проверить рисунок самостоятельно.
30. 36 (при сжатии вдоль одного направления площадь уменьшится в 6 раз, вдоль другого — ещё в 6. Для наглядности рассмотрите прямоугольник в качестве примера: уменьшите сначала его ширину, а затем длину.)
40. Проверить рисунок самостоятельно.
50. 6 (Дополните фигуру до прямоугольного параллелепипеда ("кирпич") второй такой же фигурой. Значит, объём фигуры равен половине от объёма кирпича со сторонами 2, 2 и 3.)
60. Проверить рисунок самостоятельно.

Расстановки. 10. 20 - 1 · 2 = 18
20. Проверить самостоятельно.
30.

	8	1	2	6
+	8	1	2	6
_	_	_	_	_
1	6	2	5	2

40. Проверить самостоятельно.
50. 15, 3, 4, 7, 15, 3, 4, 7, 15, 3
60. 10 (При раскрытии скобок может произойти лишь изменение некоторых знаков, так что на результат влияет только количество "+" и "-" в выражении после раскрытия скобок. Всего троек 9, значит, знаков "-" в выражении может быть от 0 до 9 штук, всего 10 вариантов).