МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Руководители Дмитрий Владимирович Трущин и Михаил Владимирович Шеблаев
2012/2013 учебный год

Предновогодний Оливье (8 декабря 2012 года)

1.: Вдоль реки едет поезд и дует ветер. Анемометр на поезде показывает то же значение, что и на катере, плывущем по реке. Дым из заводской трубы обгоняет плывущий по течению реки листок на 3 м/с. Поезд обгоняет тот же листок на 20 м/с. Найдите скорость катера в стоячей воде. (Анемометр — это прибор, который позволяет измерить скорость окружающего его воздуха.)
Ответ Указание Решение Указание (способ без вычислений) Решение (способ без вычислений)

Ответ. 20 м/с

Указание. Обозначьте все неизвестные скорости разными буквами и запишите условие задачи с помощью уравнений (их должно получиться 3 штуки). Не бойтесь большого количества неизвестных, ведь вам нужно найти лишь одну из них!

Решение. Введём обозначения, например, так:
p — скорость поезда
k — скорость катера в стоячей воде (её нужно найти)
r — скорость листочка (течения реки)
w — скорость дыма (ветра)
Теперь запишем условие задачи в этих обозначениях:
p − w = k + r − w
w = r + 3
p = r + 20
Получились три уравнения. В первом уравнении w сокращаются, после чего из него можно выразить
k = p − r
Теперь, чтобы найти k, нужно найти p − r. Это находится из третьего уравнения, в котором просто перенесём r влево:
p − r = 20
Ответ: 20 м/с.

Указание (способ без вычислений). Всё в мире относительно. Скорость, например, поезда имеет смысл только относительно чего-либо. Например, обычно мы под скоростью имеем в виду скорость относительно нас, если мы неподвижно стоим на земле, то есть скорость относительно земли. Здесь же удобно рассмотреть скорости и поезда, и катера сначала относительно ветра, а затем обе — относительно листка (воды в реке).

Решение (способ без вычислений). Относительно ветра скорости поезда и катера совпадают, то есть, они движутся одинаково. Но тогда и относительно чего-нибудь другого они тоже будут двигаться одинаково. Значит, скорость катера относительно листка (которую и нужно найти) равна скорости поезда относительно листка, которая дана (и равна 20 м/с).

Замечание: Поглядите внимательно на первый способ решения. На самом деле он представляет собой те же самые рассуждения, только записанные в математических обозначениях, благодаря чему до них легче догадаться.
2.: Число сложили с суммой его цифр, умноженной на 23. Могло ли в результате получиться 2006?
Указание 1 Указание 2 Решение

Указание 1. В этой задаче используется сумма цифр, значит, нужно обозначить эти неизвестные цифры числа разными буквами. Но нужно как-то выразить само число через эти буквы, чтобы записать на математическом языке сложение этого числа с суммой его цифр (умноженной на 23), то есть понять, какой формулой связаны число и его цифры. Для этого нужно вспомнить, что такое десятичная система счисления, которой мы все пользуемся. Обозначим цифры числа справа налево a₀, a₁, a₂ и т.д., где маленьким числом обозначен номер разряда. Тогда, например, четырёхзначное число (то есть число, состоящее из четырёх цифр) a₃a₂a₁a₀ может быть записано так:
1000 a₃ + 100 a₂ + 10 a₁ + a₀

Указание 2. Применить признак делимости на 3.

Решение. Полученное число будет записываться так (больше, чем четырёхзначным, оно быть не может):
1000 a₃ + 100 a₂ + 10 a₁ + a₀ + 23 · (a₃ + a₂ + a₁ + a₀)
После приведения подобных слагаемых:
1023 a₃ + 123 a₂ + 33 a₁ + 24 a₀
Вспомним признак делимости на 3. Согласно нему, все слагаемые делятся на 3, потому что содержат в себе умножение на числа 1023, 123, 33, 24, делящиеся на 3 (а значит, и умножение на 3). Значит, полученное число тоже будет делиться на 3. Но число 2006 на 3 не делится, поэтому оно не может оказаться полученным числом.
Ответ: не может.
3.: Из шести внешне неотличимых монет две фальшивые (фальшивые монеты весят одинаково, но неизвестно, легче или тяжелее настоящих). В нашем распоряжении имеются чашечные весы без гирь. Как за четыре взвешивания найти обе фальшивых монеты?
Указание

Указание. Не разделять монеты на кучи, как это часто делают в таких задачах, а взять одну из них и взвесить с остальными (взвешиваний хватит на сравнения с четырьмя монетами, одна во взвешиваниях не сможет участвовать). По количеству равенств и неравенств при взвешиваниях можно понять, какой является взятая монета, а значит, каковы те, с которыми её взвесили, и какова оставшаяся монета.
4.: На карточках записаны числа от 1 до 2006. Карточки выложены одна за другой в произвольном порядке. Разрешается поменять местами две карточки, если число, написанное на одной из них, делится на число, написанное на другой. Докажите, что за несколько таких операций числа на карточках можно расположить в порядке возрастания.
Указание 1 Указание 2 Указание 3 Решение

Указание 1. Обратите внимание, что можно менять карточки, не являющиеся соседними.

Указание 2. Обратите внимание на карточку с числом 1.

Указание 3. Подумайте, как, умея менять местами любые две карточки, можно упорядочить всю цепочку.

Решение.
Покажем, что можно поменять местами любые две карточки. Пусть на них числа m и n. Карточку с 1 можно менять местами с любой карточкой, так как все числа делятся на 1. Если же на обоих карточках написаны другие числа, то можно осуществить цепочку из трёх перестановок 1↔m, n↔1, m↔1.

Теперь просто найдём карточку с наибольшим числом из тех, которые лежат не на своём месте. Положим её на своё место. Потом ищем следующую с наибольшим числом из тех, что ещё не на своих местах, и так далее. Нужно доказать, что процесс рано или поздно закончится (не получится так, что, ставя одну карточку на своё место, мы снимаем со своего места одну или несколько других). В самом деле, карточка, лежащая на том месте, куда мы хотим положить текущую, имеет другой номер и потому должна лежать не на этом месте. Значит, от того, что мы её куда-либо переложим, ей хуже не будет. Карточка с 1 и все остальные карточки после каждого цикла описанных выше перестановок будут оставаться на прежних местах, поэтому число карточек, лежащих неправильно, будет каждый раз уменьшаться хотя бы на одну (а если повезёт, на две, но это нам не важно). Поскольку карточек всего 2006, то не более, чем за 3·2006 перестановок все будут уложены правильно.
5.: Можно ли распилить куб с ребром 6 на Г-образные фигурки из тетриса (см. рисунок), где ребро маленького кубика в этих фигурках равно 1?

Ответ

Ответ. Можно.
На рисунках показан один из возможных способов: если куб разбить на 6 слоёв, то на левом рисунке показаны слои 1, 2, 4 и 5, а на правом — слои 3 и 6.
6.: 14 команд играют между собой чемпионат – в каждом туре встречаются какие-то 7 пар команд, не игравшие между собой ранее. Докажите, что можно так провести первые 7 туров, что ни одного тура больше сыграть не удастся.
Указание Решение

Указание. Разбить команды на группы по семь.

Решение. Разобьём команды на две группы по 7 команд, например, 1-7 и 8-14. Пусть в первом туре команды играли в таких парах:
I) 1—8, 2—9, 3—10, ... 7—14;
Во каждом следующем туре будем сдвигать команды во второй группе по циклу:
II) 1—9, 2—10, 3—11, ... 7—8;
III) 1—10, 2—11, 3—12, ... 7—9;
...
VII) 1—14, 2—7, 3—8, ... 7—13.
Теперь нужно доказать, почему нельзя провести восьмой тур. Каждая команда уже играла со всеми командами из другой группы. Значит, теперь она может играть только с командами из своей группы, то есть все матчи должны проходить внутри каждой из двух групп. Но в группах нечётное число команд (7), поэтому разбить команды внутри группы на пары для матчей не получится - одной из команд обязательно не достанется партнёра для матча.
7.: В деревне П живёт фермер Петров со своим котом Петькой, а в деревне В — фермер Васильев с котом Васькой. Однажды Петров с Петькой поехали в пункт В, а Васильев с Васькой одновременно — в пункт П. Когда они встретились, оказалось, что Петька съел в два раза больше пакетиков «Вискас», чем Васька. За всю дорогу между пунктами В и П пакетиков они съели поровну. К новому году фермеры подарили своих котов друг другу. Одиннадцатого января они снова выехали из своих деревень с котами. На этот раз за всю дорогу Васька съел 5 пакетиков «Вискас». Сколько пакетиков за всю дорогу съел Петька?
Ответ Решение

Ответ. 20

Решение. Обозначим \(p\) и \(v\) км/ч скорости Петрова и Васильева, с которыми они идут по дороге, \(p'\) и \(v'\) пакетиков в час — скорости поедания Петьки и Васьки. Так как оба вышли одновременно, то до момента встречи оба кота ели одинаковое время \(t\) ч. Уравнение на количество съеденного до встречи:
\(p' \cdot t = 2 \cdot v' \cdot t\)
Значит, Петька ест вдвое быстрее:
\(p' = 2 v'\)
Теперь приравняем съеденное за всю дорогу. Пусть длина пути между деревнями равна \(S\) км. Тогда Петров был в пути \(\frac{S}{p}\) ч, а Васильев — \(\frac{S}{v}\) часов. За это время их коты съели \(p' \cdot \frac{S}{p}\) и \(v' \cdot \frac{S}{v}\) пакетиков соответственно (скорость поедания умножили на время, которое они провели в пути). По условию эти числа равны между собой:
\(p' \cdot \frac{S}{p} = v' \cdot \frac{S}{v}\)
Сократив обе части на \(S\) и подставив \(p' = 2 \cdot v'\), получим
\(2 \cdot v' \cdot \frac{1}{p} = v' \cdot \frac{1}{v}\)
\(\frac{2}{p} = \frac{1}{v}\)
\(p = 2 v\)
Теперь напишем, сколько Васька съел после Нового Года, пока был в дороге с Петровым:
\(v' \cdot \frac{S}{p} = 5\)
Наконец, вычислим, сколько съел Петька в дороге с Васильевым:
\(p' \cdot \frac{S}{v} = 2 v' \cdot \frac{S}{(p : 2)} = 4 v' \cdot \frac{S}{p} = 4 \cdot 5 = 20\) (пакетиков).
8.: В классе учатся 30 детей. В течение недели учительница поставила им в журнал несколько оценок по математике. В воскресенье оказалось, что у любых десяти детей вместе присутствуют все пять видов оценок (от 1 до 5). Какое наименьшее количество оценок могло быть выставлено в течение этой недели?
Ответ Указание

Ответ. 105

Указание. Посчитайте сначала, какое наибольшее количество оценок "5" могло быть поставлено, чтобы условие задачи всё ещё не было выполнено (то есть нашлись 10 детей, у которых не было "5"). Нужное нам число будет на 1 больше. То же и для остальных оценок.


	МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА НАША КОМАНДА О КРУЖКАХ РАСПИСАНИЕ ВОПРОС-ОТВЕТ ЛЕКЦИИ МАТЕРИАЛЫ ЗАНЯТИЙ 5 класс 6 класс 7 класс 8 класс Перечневые олимпиады 2-3 уровень АРХИВ МАЛЫЙ МЕХМАТ — ШКОЛЕ ЛИТЕРАТУРА ССЫЛКИ	Кружок 5 класса Руководители Дмитрий Владимирович Трущин и Михаил Владимирович Шеблаев 2012/2013 учебный год Предновогодний Оливье (8 декабря 2012 года) 1. Вдоль реки едет поезд и дует ветер. Анемометр на поезде показывает то же значение, что и на катере, плывущем по реке. Дым из заводской трубы обгоняет плывущий по течению реки листок на 3 м/с. Поезд обгоняет тот же листок на 20 м/с. Найдите скорость катера в стоячей воде. (Анемометр — это прибор, который позволяет измерить скорость окружающего его воздуха.) Ответ Указание Решение Указание (способ без вычислений) Решение (способ без вычислений) Ответ. 20 м/с Указание. Обозначьте все неизвестные скорости разными буквами и запишите условие задачи с помощью уравнений (их должно получиться 3 штуки). Не бойтесь большого количества неизвестных, ведь вам нужно найти лишь одну из них! Решение. Введём обозначения, например, так: `p` — скорость поезда `k` — скорость катера в стоячей воде (её нужно найти) `r` — скорость листочка (течения реки) `w` — скорость дыма (ветра) Теперь запишем условие задачи в этих обозначениях: `p` − `w` = `k` + `r` − `w` `w` = `r` + 3 `p` = `r` + 20 Получились три уравнения. В первом уравнении `w` сокращаются, после чего из него можно выразить `k` = `p` − `r` Теперь, чтобы найти `k`, нужно найти `p` − `r`. Это находится из третьего уравнения, в котором просто перенесём `r` влево: `p` − `r` = 20 Ответ: 20 м/с. Указание (способ без вычислений). Всё в мире относительно. Скорость, например, поезда имеет смысл только относительно чего-либо. Например, обычно мы под скоростью имеем в виду скорость относительно нас, если мы неподвижно стоим на земле, то есть скорость относительно земли. Здесь же удобно рассмотреть скорости и поезда, и катера сначала относительно ветра, а затем обе — относительно листка (воды в реке). Решение (способ без вычислений). Относительно ветра скорости поезда и катера совпадают, то есть, они движутся одинаково. Но тогда и относительно чего-нибудь другого они тоже будут двигаться одинаково. Значит, скорость катера относительно листка (которую и нужно найти) равна скорости поезда относительно листка, которая дана (и равна 20 м/с). Замечание: Поглядите внимательно на первый способ решения. На самом деле он представляет собой те же самые рассуждения, только записанные в математических обозначениях, благодаря чему до них легче догадаться. 2. Число сложили с суммой его цифр, умноженной на 23. Могло ли в результате получиться 2006? Указание 1 Указание 2 Решение Указание 1. В этой задаче используется сумма цифр, значит, нужно обозначить эти неизвестные цифры числа разными буквами. Но нужно как-то выразить само число через эти буквы, чтобы записать на математическом языке сложение этого числа с суммой его цифр (умноженной на 23), то есть понять, какой формулой связаны число и его цифры. Для этого нужно вспомнить, что такое десятичная система счисления, которой мы все пользуемся. Обозначим цифры числа справа налево a₀, a₁, a₂ и т.д., где маленьким числом обозначен номер разряда. Тогда, например, четырёхзначное число (то есть число, состоящее из четырёх цифр) a₃a₂a₁a₀ может быть записано так: 1000 `a`₃ + 100 `a`₂ + 10 `a`₁ + `a`₀ Указание 2. Применить признак делимости на 3. Решение. Полученное число будет записываться так (больше, чем четырёхзначным, оно быть не может): 1000 `a`₃ + 100 `a`₂ + 10 `a`₁ + `a`₀ + 23 · (`a`₃ + `a`₂ + `a`₁ + `a`₀) После приведения подобных слагаемых: 1023 `a`₃ + 123 `a`₂ + 33 `a`₁ + 24 `a`₀ Вспомним признак делимости на 3. Согласно нему, все слагаемые делятся на 3, потому что содержат в себе умножение на числа 1023, 123, 33, 24, делящиеся на 3 (а значит, и умножение на 3). Значит, полученное число тоже будет делиться на 3. Но число 2006 на 3 не делится, поэтому оно не может оказаться полученным числом. Ответ: не может. 3. Из шести внешне неотличимых монет две фальшивые (фальшивые монеты весят одинаково, но неизвестно, легче или тяжелее настоящих). В нашем распоряжении имеются чашечные весы без гирь. Как за четыре взвешивания найти обе фальшивых монеты? Указание Указание. Не разделять монеты на кучи, как это часто делают в таких задачах, а взять одну из них и взвесить с остальными (взвешиваний хватит на сравнения с четырьмя монетами, одна во взвешиваниях не сможет участвовать). По количеству равенств и неравенств при взвешиваниях можно понять, какой является взятая монета, а значит, каковы те, с которыми её взвесили, и какова оставшаяся монета. 4. На карточках записаны числа от 1 до 2006. Карточки выложены одна за другой в произвольном порядке. Разрешается поменять местами две карточки, если число, написанное на одной из них, делится на число, написанное на другой. Докажите, что за несколько таких операций числа на карточках можно расположить в порядке возрастания. Указание 1 Указание 2 Указание 3 Решение Указание 1. Обратите внимание, что можно менять карточки, не являющиеся соседними. Указание 2. Обратите внимание на карточку с числом 1. Указание 3. Подумайте, как, умея менять местами любые две карточки, можно упорядочить всю цепочку. Решение. Покажем, что можно поменять местами любые две карточки. Пусть на них числа `m` и `n`. Карточку с 1 можно менять местами с любой карточкой, так как все числа делятся на 1. Если же на обоих карточках написаны другие числа, то можно осуществить цепочку из трёх перестановок 1↔`m`, `n`↔1, `m`↔1. Теперь просто найдём карточку с наибольшим числом из тех, которые лежат не на своём месте. Положим её на своё место. Потом ищем следующую с наибольшим числом из тех, что ещё не на своих местах, и так далее. Нужно доказать, что процесс рано или поздно закончится (не получится так, что, ставя одну карточку на своё место, мы снимаем со своего места одну или несколько других). В самом деле, карточка, лежащая на том месте, куда мы хотим положить текущую, имеет другой номер и потому должна лежать не на этом месте. Значит, от того, что мы её куда-либо переложим, ей хуже не будет. Карточка с 1 и все остальные карточки после каждого цикла описанных выше перестановок будут оставаться на прежних местах, поэтому число карточек, лежащих неправильно, будет каждый раз уменьшаться хотя бы на одну (а если повезёт, на две, но это нам не важно). Поскольку карточек всего 2006, то не более, чем за 3·2006 перестановок все будут уложены правильно. 5. Можно ли распилить куб с ребром 6 на Г-образные фигурки из тетриса (см. рисунок), где ребро маленького кубика в этих фигурках равно 1? Ответ Ответ. Можно. На рисунках показан один из возможных способов: если куб разбить на 6 слоёв, то на левом рисунке показаны слои 1, 2, 4 и 5, а на правом — слои 3 и 6. 6. 14 команд играют между собой чемпионат – в каждом туре встречаются какие-то 7 пар команд, не игравшие между собой ранее. Докажите, что можно так провести первые 7 туров, что ни одного тура больше сыграть не удастся. Указание Решение Указание. Разбить команды на группы по семь. Решение. Разобьём команды на две группы по 7 команд, например, 1-7 и 8-14. Пусть в первом туре команды играли в таких парах: I) 1—8, 2—9, 3—10, ... 7—14; Во каждом следующем туре будем сдвигать команды во второй группе по циклу: II) 1—9, 2—10, 3—11, ... 7—8; III) 1—10, 2—11, 3—12, ... 7—9; ... VII) 1—14, 2—7, 3—8, ... 7—13. Теперь нужно доказать, почему нельзя провести восьмой тур. Каждая команда уже играла со всеми командами из другой группы. Значит, теперь она может играть только с командами из своей группы, то есть все матчи должны проходить внутри каждой из двух групп. Но в группах нечётное число команд (7), поэтому разбить команды внутри группы на пары для матчей не получится - одной из команд обязательно не достанется партнёра для матча. 7. В деревне П живёт фермер Петров со своим котом Петькой, а в деревне В — фермер Васильев с котом Васькой. Однажды Петров с Петькой поехали в пункт В, а Васильев с Васькой одновременно — в пункт П. Когда они встретились, оказалось, что Петька съел в два раза больше пакетиков «Вискас», чем Васька. За всю дорогу между пунктами В и П пакетиков они съели поровну. К новому году фермеры подарили своих котов друг другу. Одиннадцатого января они снова выехали из своих деревень с котами. На этот раз за всю дорогу Васька съел 5 пакетиков «Вискас». Сколько пакетиков за всю дорогу съел Петька? Ответ Решение Ответ. 20 Решение. Обозначим \(p\) и \(v\) км/ч скорости Петрова и Васильева, с которыми они идут по дороге, \(p'\) и \(v'\) пакетиков в час — скорости поедания Петьки и Васьки. Так как оба вышли одновременно, то до момента встречи оба кота ели одинаковое время \(t\) ч. Уравнение на количество съеденного до встречи: \(p' \cdot t = 2 \cdot v' \cdot t\) Значит, Петька ест вдвое быстрее: \(p' = 2 v'\) Теперь приравняем съеденное за всю дорогу. Пусть длина пути между деревнями равна \(S\) км. Тогда Петров был в пути \(\frac{S}{p}\) ч, а Васильев — \(\frac{S}{v}\) часов. За это время их коты съели \(p' \cdot \frac{S}{p}\) и \(v' \cdot \frac{S}{v}\) пакетиков соответственно (скорость поедания умножили на время, которое они провели в пути). По условию эти числа равны между собой: \(p' \cdot \frac{S}{p} = v' \cdot \frac{S}{v}\) Сократив обе части на \(S\) и подставив \(p' = 2 \cdot v'\), получим \(2 \cdot v' \cdot \frac{1}{p} = v' \cdot \frac{1}{v}\) \(\frac{2}{p} = \frac{1}{v}\) \(p = 2 v\) Теперь напишем, сколько Васька съел после Нового Года, пока был в дороге с Петровым: \(v' \cdot \frac{S}{p} = 5\) Наконец, вычислим, сколько съел Петька в дороге с Васильевым: \(p' \cdot \frac{S}{v} = 2 v' \cdot \frac{S}{(p : 2)} = 4 v' \cdot \frac{S}{p} = 4 \cdot 5 = 20\) (пакетиков). 8. В классе учатся 30 детей. В течение недели учительница поставила им в журнал несколько оценок по математике. В воскресенье оказалось, что у любых десяти детей вместе присутствуют все пять видов оценок (от 1 до 5). Какое наименьшее количество оценок могло быть выставлено в течение этой недели? Ответ Указание Ответ. 105 Указание. Посчитайте сначала, какое наибольшее количество оценок "5" могло быть поставлено, чтобы условие задачи всё ещё не было выполнено (то есть нашлись 10 детей, у которых не было "5"). Нужное нам число будет на 1 больше. То же и для остальных оценок.	ЗАДАЧИ 5 класс Плюс-минус один Обратный ход Посчитай-ка Скобки и знаки Рыцари и лжецы Движение Движение (доп. задачи) Факториал Комбинаторика (доп. задачи) Математическая абака Комбинаторика Козы Переливания Предновогодний Оливье Математическая карусель Всюду идут дороги Разные задачи Разрезалки Круги Эйлера Принцесса или тигр Магические фигуры Двумя способами Конструкции ЗАДАЧИ ауд. П3 (рук. Л. А. Попов)