МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Обратный ход (29 сентября 2012 года)

1.

Алеша задумал число. Он прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил 2. Какое число задумал Алеша?

2.

Мама положила на стол сливы и сказала детям, чтобы они, вернувшись из школы, разделили их поровну. Аня пришла, взяла треть слив и ушла. Потом вернулась из школы Лиза, взяла треть оставшихся слив и ушла. Наконец, пришел из детского сада Илюша и взял 4 сливы – треть от числа слив, которые еще оставались на столе. Сколько всего слив оставила мама?

3.

В карибском море плавают пираньи и барракуды. В понедельник каждая пиранья съела ровно по одной барракуде. Во вторник каждая выжившая барракуда съела ровно по одной пиранье. В среду опять каждая оставшаяся в живых пиранья сожрала по одной барракуде. Так продолжалось до воскресенья. В воскресенье последняя пиранья съела последнюю барракуду и осталась единственной рыбой во всем карибском море. А сколько рыб было там первоначально?

4.

Сегодня суббота. Какой день недели был 2012 дней назад?

5.

На доске написана буква. Каждую минуту Вася проделывает следующее: если на доске была написана гласная, Вася ее стирает и записывает вместо нее ближайшую следующую по алфавиту согласную. А если на доске была написана согласная – то гласную. Через 5 минут на доске оказалась буква «Ф». Какая буква была написана сначала?

6.

По кругу расставлены нули и единицы в следующем порядке: 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, — всего 9 цифр. Каждую минуту между любыми двумя одинаковыми цифрами записывают 0, а между разными – 1. Потом старые числа стирают. Может ли через некоторое время на доске оказаться 9 единиц?

7.

Минотавр живет и работает в лабиринте. В каждой комнате лабиринта соединяются ровно три коридора. Минотавр начал обходить лабиринт из главной комнаты, руководствуясь следующим правилом: если в предыдущей комнате поворачивал налево, то в этой – направо, и наоборот. Докажите, что когда-нибудь минотавр снова окажется в главной комнате.