МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Руководители Дмитрий Владимирович Трущин и Михаил Владимирович Шеблаев
2012/2013 учебный год

Математическая карусель (15 декабря 2012 года)

1.: На соревновании по бегу на дистанцию 10 км Джонни Джоггер пробежал 9 641 м, потом прошел 3 456 дм, наконец, прополз 12 340 мм и остановился, не в силах двигаться дальше. Сколько сантиметров ему осталось до финиша?
Ответ

Ответ. 106 см
2.: Укажите точную дату и время середины следующего года.
Ответ

Ответ. 2 июля 2013 года, 12:00
3.: У Феди есть карточки с цифрами 1, 2, 3 и 4 — по две с каждой цифрой. Он хочет сложить из них число так, чтобы между двумя единицами была одна цифра, между двойками — две цифры, между тройками — три, а между четвёрками — четыре. Укажите какое-нибудь число, которое может получить Федя.
Ответ

Ответ. 41312432 (или 23421314)
4.: Разрежьте фигуру на рисунке на две равные части (одинаковые по форме и размеру).

Ответ

Ответ.
5.: Из двух одинаковых железных проволок кузнец сковал по одной цепи. Первая содержит 80 одинаковых звеньев, а вторая — 100. Каждое звено первой цепи на 5 граммов тяжелее каждого звена второй цепи. Какова была масса каждой проволоки?
Ответ Решение

Ответ. 2 кг

Решение. Если одно звено первой цепи тяжелее на 5 граммов, то 80 звеньев — на 80 · 5 = 400 граммов тяжелее 80ти звеньев второй. Тогда, чтобы цепи весили одинаково, остальные 20 звеньев второй цепи должны весить как раз столько же. Значит, одно звено второй цепи весит 400 : 20 = 20 граммов. Тогда вся вторая цепь весит в 100 раз больше, то есть 2 кг.
6.: Девочка вместо каждой буквы своего имени подставила порядковый номер этой буквы в русском алфавите, у неё получилось число 2011533. Как звали девочку?
Указание Ответ

Указание. Начните расшифровку последовательно слева направо. Рассматривайте варианты, когда первая буква дала две цифры кода, и когда одну, и так дальше.

Ответ. Таня
7.: Какой цифрой заканчивается разность 1·2·3·4·….·2012·2013 – – 1·3·5·….·2011·2013 ?
Ответ Решение

Ответ. 5

Решение. Первое произведение содержит множитель 10 и потому оканчивается на 0. Второе содержит 5. Заметим, что 5 при умножении на чётные числа даёт результат, оканчивающийся на 0, а на нечётные — на 5. Во втором произведении нет чётных множителей, значит, оно кончается на 5. Разность числа, кончающегося на 0, и числа, кончающегося на 5, кончается на 5.
8.: Какое кольцо надо разрезать, чтобы эта конструкция распалась на отдельные кольца?

Ответ

Ответ. C
9.: На прямой 30 точек, между любыми двумя соседними равно 2 см. Какое расстояние между двумя крайними?
Ответ

Ответ. 58 см
10.: Книга в переплёте стоит 5 рублей 50 копеек. Сколько стоит переплёт, если книга дороже переплёта на 5 рублей?
Ответ

Ответ. 25 копеек
11.: У Йозефа 100 мышей, некоторые из них белые, некоторые — серые. Известно, что хотя бы одна мышь серая, а из любых двух мышей хотя бы одна — белая. Сколько белых мышей у Йозефа?
Ответ

Ответ. 99 белых мышей
12.: Какой цифрой оканчивается произведение всех простых чисел, которые меньше 100?
Ответ

Ответ. 0
13.: У мамы и папы в шкафу 40 книг, каждую из которых кто-то из них читал. Папа прочел 29 из этих книг, а мама — 31. Сколько книг прочитали и мама, и папа?
Ответ Решение

Ответ. 20

Решение. Будем считать одним прочтением факт, что книгу читал один из родителей. Всего прочтений книг было 29 + 31 = 60. При этом книг всего 40, и каждую кто-то читал. Тогда прочтений больше, чем книг, на 60 - 40 = 20, то есть 20 книг были прочтены обоими родителями.
14.: Расшифруйте следующую фразу: «Рфтуйуё нёоа об ибшжуоьк сфвёз!»
Указание Ответ

Указание. Замените буквы на их номера в алфавите. Подумайте, какое преобразование могло быть сделано с их номерами, после чего они были заменены обратно на буквы.

Ответ. "Пустите меня на зачётный рубеж!"

*Первоначально игра должна была состоять из задач исходного и зачётного рубежей, и эта задача была последней на исходном.
15.: Говядина без костей стоит 300 рублей за килограмм, говядина с костями — 260 рублей за килограмм, а кости без говядины — 50 рублей за килограмм. Сколько граммов костей в килограмме говядины с костями?
Ответ

Ответ. 160 грамм
16.: Число A увеличили на 65% и получили число B. Затем число B уменьшили на 40% и получили число C. Увеличилось или уменьшилось число C относительно A и на сколько процентов?
Ответ

Ответ. Уменьшилось на 1%
17.: Найдите наименьшее натуральное число, куб которого оканчивается на 2000.
Ответ

Ответ. 80
18.: На игральном кубике общее число точек на любых двух противоположных гранях равно 7. Мила склеила столбик из 6 таких кубиков и подсчитала общее число точек на всех наружных гранях. Какое самое большое число она могла получить?
Ответ

Ответ. 96
19.: Найдите наименьшее составное число, которое не делится ни на одно из натуральных чисел от двух до десяти.
Ответ Указание Доказательство

Ответ. 121

Указание. Оно равно следующему после 10 простому числу, умноженному на самого себя. Докажите, почему (то есть почему оно подходит, и почему оно наименьшее из "подходящих").

Доказательство. Разложение этого числа не должно включать простые множители, меньшие 10. Тогда оно включает в себя простые, большие 10. Самое маленькое из них — 11. А чтобы быть составным, это число должно в разложении иметь два таких наименьших множителя, то есть 11 · 11 = 121. Остальные "подходящие" числа больше него, так как содержат в себе множители, большие 11.
20.: Найти все числа, которые уменьшаются в 12 раз при зачеркивании в них последней цифры.
Указание Ответ

Указание. Обозначить цифры такого числа разными переменными и найти соотношение между ними. Используя, что все цифры меньше 10, показать, что все такие числа обязательно двухзначны, и перечислить их, перебирая все цифры, подходящие под полученные ограничения.

Ответ. 12, 24, 36 и 48
21.: Диагональ делит четырёхугольник с периметром 31 см на два треугольника с периметрами 21 см и 30 см. Найдите длину этой диагонали.
Ответ Указание

Ответ. 10 см

Указание. Подумайте, какой смысл имеет сумма периметров этих треугольников? Выразите её через другие известные и неизвестные величины.
22.: Сколько среди тысячи первых натуральных чисел таких, в записи которых встречаются три одинаковые цифры?
Ответ Решение

Ответ. 10

Решение. Столько же, сколько и цифр, потому как все такие трёхзначные задаются одной из своих цифр (9 вариантов), плюс ещё одно число 1000.
23.: Витя старше Оли на четыре года, а Серёжа младше Оли на три года. При этом Витя вдвое старше Серёжи. Сколько лет Оле?
Ответ

Ответ. 10 лет
24.: Винни-Пух и Пятачок играют в слова. Каждый из них составил несколько слов. Они по очереди называют по одному слову, не повторяя уже названные. Проигрывает тот, кто не сможет назвать слово. Начинал Винни-Пух, который придумал 11 слов, а выиграл Пятачок. Какое наименьшее количество слов могло быть у Пятачка?
Ответ

Ответ. 6
25.: На склад привезли 57 тонн груза. Для вывоза этого груза дали 10 машин грузоподъемностью 8 тонн, 4 тонны и 3 тонны. Сколько машин каждого вида дали, если все машины были загружены полностью и сделали по одному рейсу?
Ответ

Ответ. 5 восьмитонных, 2 четырёхтонных и 3 трёхтонных
26.: Из 7 спичек выложено равенство X–I = I. Как переложить в нем одну спичку, чтобы оно стало верным?
Указание Ответ

Указание. IXI = I

Ответ. После перестановки спички крестик надо понимать как знак умножения, а одну спичку — как 1.
27.: Найдите знакопеременную сумму шестых степеней первых трех натуральных чисел.
Ответ

Ответ. 666
28.: Автомат отрезает от помещенного в него прямоугольника квадрат со стороной, равной меньшей из сторон прямоугольника. Применяя несколько раз подряд этот автомат к имеющемуся прямоугольнику, Вася в конце концов разрезал его на 3 больших квадрата, 2 квадрата поменьше и 6 маленьких квадратов со стороной 1 см. Укажите размеры исходного прямоугольника.
Ответ

Ответ. 45×13
29.: 45 конфет стоят столько же рублей, сколько конфет можно купить на 20 рублей. Сколько стоят 75 конфет?
Ответ

Ответ. 50 р
30.: Найдите наименьшее натуральное число n такое, что среди любых n натуральных чисел найдутся два числа, сумма или разность которых делится на 3.
Ответ

Ответ. 3
31.: После того, как Наташа съела половину персиков из банки, уровень компота понизился на одну треть. На какую часть от полученного уровня понизится уровень компота, если съесть половину оставшихся персиков?
Ответ

Ответ. на 1/4
32.: Сколько существует трехзначных чисел, у которых ровно две одинаковых цифры?
Указание Ответ

Указание. Сколько вариантов есть для значения этих двух цифр и значения третьей цифры? И сколькими способами можно располагать в числе одинаковые цифры, чтобы 0 не был первым?

Ответ. 243
33.: Три гонщика ездят по круговой трассе с постоянными скоростями, делая 2, 3 и 4 круга за час соответственно. Они стартуют одновременно из одной точки в одном направлении. Через какое время после старта они впервые окажутся на одной прямой? (Машины гонщиков считаются точками.)
Ответ

Ответ. Через 30 минут
34.: Сегодня 15.12.2012, и сумма цифр в сегодняшней дате равна 14. Найдите ближайший день в будущем, когда сумма цифр в дате будет равна 8.
Ответ

Ответ. 01.01.2013


	МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА НАША КОМАНДА О КРУЖКАХ РАСПИСАНИЕ ВОПРОС-ОТВЕТ ЛЕКЦИИ МАТЕРИАЛЫ ЗАНЯТИЙ 5 класс 6 класс 7 класс 8 класс Перечневые олимпиады 2-3 уровень АРХИВ МАЛЫЙ МЕХМАТ — ШКОЛЕ ЛИТЕРАТУРА ССЫЛКИ	Кружок 5 класса Руководители Дмитрий Владимирович Трущин и Михаил Владимирович Шеблаев 2012/2013 учебный год Математическая карусель (15 декабря 2012 года) 1. На соревновании по бегу на дистанцию 10 км Джонни Джоггер пробежал 9 641 м, потом прошел 3 456 дм, наконец, прополз 12 340 мм и остановился, не в силах двигаться дальше. Сколько сантиметров ему осталось до финиша? Ответ Ответ. 106 см 2. Укажите точную дату и время середины следующего года. Ответ Ответ. 2 июля 2013 года, 12:00 3. У Феди есть карточки с цифрами 1, 2, 3 и 4 — по две с каждой цифрой. Он хочет сложить из них число так, чтобы между двумя единицами была одна цифра, между двойками — две цифры, между тройками — три, а между четвёрками — четыре. Укажите какое-нибудь число, которое может получить Федя. Ответ Ответ. 41312432 (или 23421314) 4. Разрежьте фигуру на рисунке на две равные части (одинаковые по форме и размеру). Ответ Ответ. 5. Из двух одинаковых железных проволок кузнец сковал по одной цепи. Первая содержит 80 одинаковых звеньев, а вторая — 100. Каждое звено первой цепи на 5 граммов тяжелее каждого звена второй цепи. Какова была масса каждой проволоки? Ответ Решение Ответ. 2 кг Решение. Если одно звено первой цепи тяжелее на 5 граммов, то 80 звеньев — на 80 · 5 = 400 граммов тяжелее 80ти звеньев второй. Тогда, чтобы цепи весили одинаково, остальные 20 звеньев второй цепи должны весить как раз столько же. Значит, одно звено второй цепи весит 400 : 20 = 20 граммов. Тогда вся вторая цепь весит в 100 раз больше, то есть 2 кг. 6. Девочка вместо каждой буквы своего имени подставила порядковый номер этой буквы в русском алфавите, у неё получилось число 2011533. Как звали девочку? Указание Ответ Указание. Начните расшифровку последовательно слева направо. Рассматривайте варианты, когда первая буква дала две цифры кода, и когда одну, и так дальше. Ответ. Таня 7. Какой цифрой заканчивается разность 1·2·3·4·….·2012·2013 – – 1·3·5·….·2011·2013 ? Ответ Решение Ответ. 5 Решение. Первое произведение содержит множитель 10 и потому оканчивается на 0. Второе содержит 5. Заметим, что 5 при умножении на чётные числа даёт результат, оканчивающийся на 0, а на нечётные — на 5. Во втором произведении нет чётных множителей, значит, оно кончается на 5. Разность числа, кончающегося на 0, и числа, кончающегося на 5, кончается на 5. 8. Какое кольцо надо разрезать, чтобы эта конструкция распалась на отдельные кольца? Ответ Ответ. C 9. На прямой 30 точек, между любыми двумя соседними равно 2 см. Какое расстояние между двумя крайними? Ответ Ответ. 58 см 10. Книга в переплёте стоит 5 рублей 50 копеек. Сколько стоит переплёт, если книга дороже переплёта на 5 рублей? Ответ Ответ. 25 копеек 11. У Йозефа 100 мышей, некоторые из них белые, некоторые — серые. Известно, что хотя бы одна мышь серая, а из любых двух мышей хотя бы одна — белая. Сколько белых мышей у Йозефа? Ответ Ответ. 99 белых мышей 12. Какой цифрой оканчивается произведение всех простых чисел, которые меньше 100? Ответ Ответ. 0 13. У мамы и папы в шкафу 40 книг, каждую из которых кто-то из них читал. Папа прочел 29 из этих книг, а мама — 31. Сколько книг прочитали и мама, и папа? Ответ Решение Ответ. 20 Решение. Будем считать одним прочтением факт, что книгу читал один из родителей. Всего прочтений книг было 29 + 31 = 60. При этом книг всего 40, и каждую кто-то читал. Тогда прочтений больше, чем книг, на 60 - 40 = 20, то есть 20 книг были прочтены обоими родителями. 14. Расшифруйте следующую фразу: «Рфтуйуё нёоа об ибшжуоьк сфвёз!» Указание Ответ Указание. Замените буквы на их номера в алфавите. Подумайте, какое преобразование могло быть сделано с их номерами, после чего они были заменены обратно на буквы. Ответ. "Пустите меня на зачётный рубеж!" Первоначально игра должна была состоять из задач исходного и зачётного рубежей, и эта задача была последней на исходном. 15. Говядина без костей стоит 300 рублей за килограмм, говядина с костями — 260 рублей за килограмм, а кости без говядины — 50 рублей за килограмм. Сколько граммов костей в килограмме говядины с костями? Ответ Ответ. 160 грамм 16. Число A увеличили на 65% и получили число B. Затем число B уменьшили на 40% и получили число C. Увеличилось или уменьшилось число C относительно A и на сколько процентов? Ответ Ответ. Уменьшилось на 1% 17. Найдите наименьшее натуральное число, куб которого оканчивается на 2000. Ответ Ответ. 80 18. На игральном кубике общее число точек на любых двух противоположных гранях равно 7. Мила склеила столбик из 6 таких кубиков и подсчитала общее число точек на всех наружных гранях. Какое самое большое число она могла получить? Ответ Ответ. 96 19. Найдите наименьшее составное число, которое не делится ни на одно из натуральных чисел от двух до десяти. Ответ Указание Доказательство Ответ. 121 Указание. Оно равно следующему после 10 простому числу, умноженному на самого себя. Докажите, почему (то есть почему оно подходит, и почему оно наименьшее из "подходящих"). Доказательство. Разложение этого числа не должно включать простые множители, меньшие 10. Тогда оно включает в себя простые, большие 10. Самое маленькое из них — 11. А чтобы быть составным, это число должно в разложении иметь два таких наименьших множителя, то есть 11 · 11 = 121. Остальные "подходящие" числа больше него, так как содержат в себе множители, большие 11. 20. Найти все* числа, которые уменьшаются в 12 раз при зачеркивании в них последней цифры. Указание Ответ Указание. Обозначить цифры такого числа разными переменными и найти соотношение между ними. Используя, что все цифры меньше 10, показать, что все такие числа обязательно двухзначны, и перечислить их, перебирая все цифры, подходящие под полученные ограничения. Ответ. 12, 24, 36 и 48 21. Диагональ делит четырёхугольник с периметром 31 см на два треугольника с периметрами 21 см и 30 см. Найдите длину этой диагонали. Ответ Указание Ответ. 10 см Указание. Подумайте, какой смысл имеет сумма периметров этих треугольников? Выразите её через другие известные и неизвестные величины. 22. Сколько среди тысячи первых натуральных чисел таких, в записи которых встречаются три одинаковые цифры? Ответ Решение Ответ. 10 Решение. Столько же, сколько и цифр, потому как все такие трёхзначные задаются одной из своих цифр (9 вариантов), плюс ещё одно число 1000. 23. Витя старше Оли на четыре года, а Серёжа младше Оли на три года. При этом Витя вдвое старше Серёжи. Сколько лет Оле? Ответ Ответ. 10 лет 24. Винни-Пух и Пятачок играют в слова. Каждый из них составил несколько слов. Они по очереди называют по одному слову, не повторяя уже названные. Проигрывает тот, кто не сможет назвать слово. Начинал Винни-Пух, который придумал 11 слов, а выиграл Пятачок. Какое наименьшее количество слов могло быть у Пятачка? Ответ Ответ. 6 25. На склад привезли 57 тонн груза. Для вывоза этого груза дали 10 машин грузоподъемностью 8 тонн, 4 тонны и 3 тонны. Сколько машин каждого вида дали, если все машины были загружены полностью и сделали по одному рейсу? Ответ Ответ. 5 восьмитонных, 2 четырёхтонных и 3 трёхтонных 26. Из 7 спичек выложено равенство X–I = I. Как переложить в нем одну спичку, чтобы оно стало верным? Указание Ответ Указание. IXI = I Ответ. После перестановки спички крестик надо понимать как знак умножения, а одну спичку — как 1. 27. Найдите знакопеременную сумму шестых степеней первых трех натуральных чисел. Ответ Ответ. 666 28. Автомат отрезает от помещенного в него прямоугольника квадрат со стороной, равной меньшей из сторон прямоугольника. Применяя несколько раз подряд этот автомат к имеющемуся прямоугольнику, Вася в конце концов разрезал его на 3 больших квадрата, 2 квадрата поменьше и 6 маленьких квадратов со стороной 1 см. Укажите размеры исходного прямоугольника. Ответ Ответ. 45×13 29. 45 конфет стоят столько же рублей, сколько конфет можно купить на 20 рублей. Сколько стоят 75 конфет? Ответ Ответ. 50 р 30. Найдите наименьшее натуральное число n такое, что среди любых n натуральных чисел найдутся два числа, сумма или разность которых делится на 3. Ответ Ответ. 3 31. После того, как Наташа съела половину персиков из банки, уровень компота понизился на одну треть. На какую часть от полученного уровня понизится уровень компота, если съесть половину оставшихся персиков? Ответ Ответ. на 1/4 32. Сколько существует трехзначных чисел, у которых ровно две одинаковых цифры? Указание Ответ Указание. Сколько вариантов есть для значения этих двух цифр и значения третьей цифры? И сколькими способами можно располагать в числе одинаковые цифры, чтобы 0 не был первым? Ответ. 243 33. Три гонщика ездят по круговой трассе с постоянными скоростями, делая 2, 3 и 4 круга за час соответственно. Они стартуют одновременно из одной точки в одном направлении. Через какое время после старта они впервые окажутся на одной прямой? (Машины гонщиков считаются точками.) Ответ Ответ. Через 30 минут 34. Сегодня 15.12.2012, и сумма цифр в сегодняшней дате равна 14. Найдите ближайший день в будущем, когда сумма цифр в дате будет равна 8. Ответ Ответ. 01.01.2013	ЗАДАЧИ 5 класс Плюс-минус один Обратный ход Посчитай-ка Скобки и знаки Рыцари и лжецы Движение Движение (доп. задачи) Факториал Комбинаторика (доп. задачи) Математическая абака Комбинаторика Козы Переливания Предновогодний Оливье Математическая карусель Всюду идут дороги Разные задачи Разрезалки Круги Эйлера Принцесса или тигр Магические фигуры Двумя способами Конструкции ЗАДАЧИ ауд. П3 (рук. Л. А. Попов)