МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Руководители Дмитрий Владимирович Трущин и Михаил Владимирович Шеблаев
2012/2013 учебный год

Комбинаторика (17 ноября 2012 года)

1.: В магазине продаются чашки пяти видов и блюдца трех видов. Сколькими способами можно выбрать себе чашку и блюдце?
Решение

Решение. Чашку можно выбрать пятью способами. Для каждого способа выбрать чашку есть 3 способа выбрать блюдце, потому что выбор блюдца не зависит от выбора чашки. То есть, всего 5 · 3 = 15 способов.
2.: В магазине продаются чашки пяти видов, блюдца трех видов и ложки четырех видов. Сколькими способами можно выбрать себе а) чашку, блюдце и ложку; б) два разных предмета?
Решение

Решение. а) 5 · 3 · 4 = 60;
б) 5·3 + 3·4 + 5·4 = 15 + 12 + 20 = 47
3.: Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых встречаются а) только четные цифры; б) по меньшей мере одна четная цифра?
Указание Ответ Решение

Указание. а) Сколько цифр чётны? На каждом из 4 мест в числе может быть любая из этих цифр (кроме как на первом месте в числе не может стоять 0).
б) Проще посчитать количество всех четырёхзначных чисел и количество чисел, не удовлетворяющих условию задачи.

Ответ. a) 500
б) 525

Решение. а) 4 · 5 · 5 · 5 = 2 · 5 · 2 · 5 · 5 = 10 · 10 · 5 = 500
б) Четырёхзначных чисел всего 9999 - 1000 + 1 = 9000. Числа, не удовлетворяющие условию задачи, состоят только из нечётных цифр, то есть на каждом из 4 мест в числе должна стоять одна из 5 нечётных цифр (1, 3, 5, 7, 9). Выбрать первую цифру можно 5 способами, для каждого из которых есть по 5 способов выбрать вторую цифру, для каждого из которых есть по 5 способов выбрать третью цифру и по 5 способов выбрать четвёртую цифру, то есть всего 5 · 5 · 5 · 5 = 125 · 5 = (100 + 25) · 5 = 100 · 5 + 25 · 5 = 500 + 125 = 625 способов.
4.: Монету бросают трижды. Сколько различных последовательностей орлов и решек может при этом получиться?
Ответ Решение

Ответ. 8

Решение. При каждом бросании может быть 2 варианта. То есть, при первом бросании 2 случая, на каждый из них по 2 подслучая (всего 2 · 2 = 4 подслучая), на каждый из подслучаев ещё по 2 подподслучая. Всего будет 2·2·2 = 8 вариантов.
5.: Каждую клетку квадратной таблицы 2x2 покрасили в черный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы?
Ответ Решение

Ответ. 16

Решение. В каждой из 2х2 = 4 клеток может быть 2 варианта раскраски. То есть, есть 2 варианта раскраски первой клетки, на каждый из них есть по 2 подварианта раскраски второй клетки, на каждый из них по 2 подварианта для третьей и так же для четвёртой клетки. Всего 2·2·2·2 = 16 вариантов.
6.: Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из букв А и У. Словом считается любая последовательность, состоящая не более, чем из 5 букв. Сколько слов в словаре Мумбо-Юмбо?
Указание Ответ

Указание. Сложите количества таких последовательностей из 5 букв, из 4 букв, из 3 букв и так далее.

Ответ. 62
7.: В футбольной команде 11 человек. Сколькими способами можно выбрать а) капитана и заместителя; б) двоих нападающих?
Ответ Указание

Ответ. а) 110
б) 55

Указание. В пункте а) есть разница в порядке выбора, а в пункте б) — нет. (См. задачи из дополнительного листка)
8.: Сколькими способами можно поставить на шахматную доску а) черную и белую ладьи; б) черного и белого королей так, чтобы они не били друг друга? (Ладьи бьют все клетки на своей горизонтали и на своей вертикали, а короли бьют все соседние со своей клетки, в том числе по диагонали.)
Ответ Указание Указание 2 Решение

Ответ. а) 3136
б) 3612

Указание. Поставьте на доску сначала одну фигуру. Сколькими способами это можно сделать? Затем для каждого из этих способов посчитайте, сколькими подспособами можно поставить на доску другую фигуру так, чтобы они не били друг друга.

Указание 2. В пункте б) рассмотрите 3 разных случая в зависимости от количества клеток, на которые можно поставить второго короля.

Решение.
а) Поставим сначала чёрную ладью. Это можно сделать 8 · 8 = 64 способами. Чтобы белая ладья её не била, надо поставить её в другие горизонталь и вертикаль, то есть свободных для неё горизонталей будет 8 - 1 = 7, и вертикалей тоже 8 - 1 = 7. То есть, поставить белую ладью при уже поставленной чёрной можно 7 · 7 = 49 способами. Так как на каждый из 64 способов поставить чёрную ладью будет 49 способов поставить белую, то всего способов поставить обе будет 64 · 49 = 3136.

б) Поставим сначала чёрного короля. Сколько способов тогда останется для постановки белого? Рассмотрим разные случаи:
Если чёрный король стоит в углу доски, то белого нельзя ставить на 4 клетки, то есть можно поставить на одну из 8·8 - 4 = 60 клеток. Углов в доске 4, то есть таких случаев, когда чёрный король стоит в углу, а белый его не бьёт, 4 · 60 = 240.
Дальше, если чёрный король стоит с краю доски (не в углу), то белого нельзя ставить на 6 клеток, то есть можно ставить на 64 - 6 = 58 клеток. На каждой из 4 сторон доски есть 8 - 2 = 6 клеток, где чёрный король будет стоять с краю, но не в углу, то есть всего таких вариантов растановки обоих королей будет 4 · 6 · 58 = 1392.
Наконец, если чёрный король стоит на внутренней клетке доски (они образуют квадрат со стороной 8 - 2 = 6, поэтому внутренних клеток будет 6 · 6 = 36), то белого можно поставить на одну из 64 - 9 = 55 клеток. Всего вариантов расстановки, где чёрный король стоит на внутренней клетке, будет 36 · 55 = 1980.
Итак, всего подходящих вариантов будет 240 + 1392 + 1980 = (200 + 40) + (1400 - 8) + (2000 - 20) = 1600 + 2000 + (40 - 20 - 8) = 3600 + 12 = 3612
9.: У Насти есть 4 разноцветных фишки. Сколькими способами она может выложить их в ряд?
Ответ

Ответ. 4! = 24
10.: Сколько существует пятизначных чисел, в записи которых встречаются только нечетные цифры, причем каждая цифра встречается ровно один раз?
Ответ Решение

Ответ. 120

Решение. Нечётных цифр всего пять: 1, 3, 5, 7, 9. На первом месте может стоять одна из 5 цифр, на втором — любая из пяти, кроме первой, то есть любая из 4 цифр, на третьем — любая из пяти, кроме двух уже использованных, то есть любая из 3 цифр, и так далее. Значит, всего 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5! = 120 таких чисел.
11.: Каких семизначных чисел больше — тех, в записи которых есть цифра 1, или тех, в записи которых ее нет?
Ответ Указание

Ответ. Где есть.

Указание. Количество чисел с 1 можно не искать: легче найти количество чисел, где нет 1: они просто состоят из остальных цифр, и сравнить его с половиной от количества всех семизначных чисел. Не забудьте, что число не может начинаться с цифры 0.


	МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА НАША КОМАНДА О КРУЖКАХ РАСПИСАНИЕ ВОПРОС-ОТВЕТ ЛЕКЦИИ МАТЕРИАЛЫ ЗАНЯТИЙ 5 класс 6 класс 7 класс 8 класс Перечневые олимпиады 2-3 уровень АРХИВ МАЛЫЙ МЕХМАТ — ШКОЛЕ ЛИТЕРАТУРА ССЫЛКИ	Кружок 5 класса Руководители Дмитрий Владимирович Трущин и Михаил Владимирович Шеблаев 2012/2013 учебный год Комбинаторика (17 ноября 2012 года) 1. В магазине продаются чашки пяти видов и блюдца трех видов. Сколькими способами можно выбрать себе чашку и блюдце? Решение Решение. Чашку можно выбрать пятью способами. Для каждого способа выбрать чашку есть 3 способа выбрать блюдце, потому что выбор блюдца не зависит от выбора чашки. То есть, всего 5 · 3 = 15 способов. 2. В магазине продаются чашки пяти видов, блюдца трех видов и ложки четырех видов. Сколькими способами можно выбрать себе а) чашку, блюдце и ложку; б) два разных предмета? Решение Решение. а) 5 · 3 · 4 = 60; б) 5·3 + 3·4 + 5·4 = 15 + 12 + 20 = 47 3. Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых встречаются а) только четные цифры; б) по меньшей мере одна четная цифра? Указание Ответ Решение Указание. а) Сколько цифр чётны? На каждом из 4 мест в числе может быть любая из этих цифр (кроме как на первом месте в числе не может стоять 0). б) Проще посчитать количество всех четырёхзначных чисел и количество чисел, не удовлетворяющих условию задачи. Ответ. a) 500 б) 525 Решение. а) 4 · 5 · 5 · 5 = 2 · 5 · 2 · 5 · 5 = 10 · 10 · 5 = 500 б) Четырёхзначных чисел всего 9999 - 1000 + 1 = 9000. Числа, не удовлетворяющие условию задачи, состоят только из нечётных цифр, то есть на каждом из 4 мест в числе должна стоять одна из 5 нечётных цифр (1, 3, 5, 7, 9). Выбрать первую цифру можно 5 способами, для каждого из которых есть по 5 способов выбрать вторую цифру, для каждого из которых есть по 5 способов выбрать третью цифру и по 5 способов выбрать четвёртую цифру, то есть всего 5 · 5 · 5 · 5 = 125 · 5 = (100 + 25) · 5 = 100 · 5 + 25 · 5 = 500 + 125 = 625 способов. 4. Монету бросают трижды. Сколько различных последовательностей орлов и решек может при этом получиться? Ответ Решение Ответ. 8 Решение. При каждом бросании может быть 2 варианта. То есть, при первом бросании 2 случая, на каждый из них по 2 подслучая (всего 2 · 2 = 4 подслучая), на каждый из подслучаев ещё по 2 подподслучая. Всего будет 2·2·2 = 8 вариантов. 5. Каждую клетку квадратной таблицы 2x2 покрасили в черный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы? Ответ Решение Ответ. 16 Решение. В каждой из 2х2 = 4 клеток может быть 2 варианта раскраски. То есть, есть 2 варианта раскраски первой клетки, на каждый из них есть по 2 подварианта раскраски второй клетки, на каждый из них по 2 подварианта для третьей и так же для четвёртой клетки. Всего 2·2·2·2 = 16 вариантов. 6. Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из букв А и У. Словом считается любая последовательность, состоящая не более, чем из 5 букв. Сколько слов в словаре Мумбо-Юмбо? Указание Ответ Указание. Сложите количества таких последовательностей из 5 букв, из 4 букв, из 3 букв и так далее. Ответ. 62 7. В футбольной команде 11 человек. Сколькими способами можно выбрать а) капитана и заместителя; б) двоих нападающих? Ответ Указание Ответ. а) 110 б) 55 Указание. В пункте а) есть разница в порядке выбора, а в пункте б) — нет. (См. задачи из дополнительного листка) 8. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску а) черную и белую ладьи; б) черного и белого королей так, чтобы они не били друг друга? (Ладьи бьют все клетки на своей горизонтали и на своей вертикали, а короли бьют все соседние со своей клетки, в том числе по диагонали.) Ответ Указание Указание 2 Решение Ответ. а) 3136 б) 3612 Указание. Поставьте на доску сначала одну фигуру. Сколькими способами это можно сделать? Затем для каждого из этих способов посчитайте, сколькими подспособами можно поставить на доску другую фигуру так, чтобы они не били друг друга. Указание 2. В пункте б) рассмотрите 3 разных случая в зависимости от количества клеток, на которые можно поставить второго короля. Решение. а) Поставим сначала чёрную ладью. Это можно сделать 8 · 8 = 64 способами. Чтобы белая ладья её не била, надо поставить её в другие горизонталь и вертикаль, то есть свободных для неё горизонталей будет 8 - 1 = 7, и вертикалей тоже 8 - 1 = 7. То есть, поставить белую ладью при уже поставленной чёрной можно 7 · 7 = 49 способами. Так как на каждый из 64 способов поставить чёрную ладью будет 49 способов поставить белую, то всего способов поставить обе будет 64 · 49 = 3136. б) Поставим сначала чёрного короля. Сколько способов тогда останется для постановки белого? Рассмотрим разные случаи: Если чёрный король стоит в углу доски, то белого нельзя ставить на 4 клетки, то есть можно поставить на одну из 8·8 - 4 = 60 клеток. Углов в доске 4, то есть таких случаев, когда чёрный король стоит в углу, а белый его не бьёт, 4 · 60 = 240. Дальше, если чёрный король стоит с краю доски (не в углу), то белого нельзя ставить на 6 клеток, то есть можно ставить на 64 - 6 = 58 клеток. На каждой из 4 сторон доски есть 8 - 2 = 6 клеток, где чёрный король будет стоять с краю, но не в углу, то есть всего таких вариантов растановки обоих королей будет 4 · 6 · 58 = 1392. Наконец, если чёрный король стоит на внутренней клетке доски (они образуют квадрат со стороной 8 - 2 = 6, поэтому внутренних клеток будет 6 · 6 = 36), то белого можно поставить на одну из 64 - 9 = 55 клеток. Всего вариантов расстановки, где чёрный король стоит на внутренней клетке, будет 36 · 55 = 1980. Итак, всего подходящих вариантов будет 240 + 1392 + 1980 = (200 + 40) + (1400 - 8) + (2000 - 20) = 1600 + 2000 + (40 - 20 - 8) = 3600 + 12 = 3612 9. У Насти есть 4 разноцветных фишки. Сколькими способами она может выложить их в ряд? Ответ Ответ. 4! = 24 10. Сколько существует пятизначных чисел, в записи которых встречаются только нечетные цифры, причем каждая цифра встречается ровно один раз? Ответ Решение Ответ. 120 Решение. Нечётных цифр всего пять: 1, 3, 5, 7, 9. На первом месте может стоять одна из 5 цифр, на втором — любая из пяти, кроме первой, то есть любая из 4 цифр, на третьем — любая из пяти, кроме двух уже использованных, то есть любая из 3 цифр, и так далее. Значит, всего 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5! = 120 таких чисел. 11. Каких семизначных чисел больше — тех, в записи которых есть цифра 1, или тех, в записи которых ее нет? Ответ Указание Ответ. Где есть. Указание. Количество чисел с 1 можно не искать: легче найти количество чисел, где нет 1: они просто состоят из остальных цифр, и сравнить его с половиной от количества всех семизначных чисел. Не забудьте, что число не может начинаться с цифры 0.	ЗАДАЧИ 5 класс Плюс-минус один Обратный ход Посчитай-ка Скобки и знаки Рыцари и лжецы Движение Движение (доп. задачи) Факториал Комбинаторика (доп. задачи) Математическая абака Комбинаторика Козы Переливания Предновогодний Оливье Математическая карусель Всюду идут дороги Разные задачи Разрезалки Круги Эйлера Принцесса или тигр Магические фигуры Двумя способами Конструкции ЗАДАЧИ ауд. П3 (рук. Л. А. Попов)