МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководители Сергей Александрович Дориченко и Степан Львович Кузнецов
2007/2008 учебный год

Математическая карусель

Исходный рубеж

1.
На окраску кубика 2×2×2 требуется 1 грамм краски. Сколько краски потребуется, чтобы окрасить кубик 6×6×6?

Ответ

Ответ. 9 граммов.
2.
Какой цифрой оканчивается произведение всех простых чисел от 1 до 100?

Ответ

3.
По какой цене за килограмм нужно продавать смесь конфет «Солнышко» и «Луна», если цена «Солнышка» 50 рублей за кг, цена «Луны» — 70, и в смеси «Луны» втрое больше, чем «Солнышка»?

Ответ

Ответ. По 65 рублей за кг.
4.
Из двух одинаковых железных проволок кузнец сковал по одной цепи. Первая цепь содержит 80 одинаковых звеньев, вторая — 100. Звено первой цепи на 5 грамм тяжелее звена второй цепи. Какова была масса каждой проволоки?

Ответ

Ответ. 2 кг.
5.
Расставьте в записи 4 × 12 + 18 : 6 + 3 скобки так, чтобы получился наименьший возможный результат.

Ответ

Ответ. (4 × 12 + 18) : (6 + 3) = 22⁄3.
6.
Найдите восемь последовательных целых чисел, сумма первых трёх из которых равна сумме остальных пяти.

Ответ

Ответ. −11, −10, −9, −8, −7, −6, −5, −4.
7.
Какой угол образуют минутная и часовая стрелки в двадцать минут первого?

Ответ

Ответ. 110 градусов.
8.
Первая цифра трёхзначного числа равна 4. Если перенести её в конец, получится число, составляющее ¾ от исходного. Найдите исходное число.

Ответ

9.
Если я захочу купить 4 карандаша, то мне не хватит 3 рубля, а если я куплю 3 карандаша, то у меня останется 6 рублей. Сколько у меня денег?

Ответ

Ответ. 33 рубля.
10.
Когда отцу было 27 лет, сыну было 3 года, а сейчас сыну в три раза меньше лет, чем отцу. Сколько лет сейчас каждому из них?

Ответ

Ответ. 12 и 36 лет.
11.
Расшифруйте ребус ** + *** = ****, если известно, что оба слагаемых и сумма не изменятся, если прочитать их справа налево.

Ответ

Ответ. 29 + 979 = 1001.
12.
В ящике лежат в беспорядке 20 перчаток: 5 пар чёрных и 5 пар коричневых. Какое наименьшее количество перчаток надо взять не глядя, чтобы из них можно было бы наверняка выбрать две пары одноцветных перчаток?

Ответ

Ответ. 12 перчаток.
13.
Сколько среди тысячи первых натуральных чисел таких, в записи которых встречаются три одинаковые цифры?

Ответ

14.
Четыре подряд идущих натуральных числа дают в произведении 1680. Какие это числа?

Ответ

Ответ. 5, 6, 7, 8.
15.
Ровно в полдень 15-метровый столб отбрасывает 10-метровую тень. Какова высота дерева, отбрасывающего в тот же момент 15-метровую тень?

Ответ

Ответ. 22,5 м.
16.
Пять парней за пять дней съели пять окуней. За сколько дней 15 парней съедят 15 окуней?

Ответ

Ответ. За 5 дней.
17.
Сколько различных ответов можно получить, расставляя скобки в выражении 1 + 2 × 3 + 4?

Ответ

18.
На расстоянии 5 метров друг от друга посажены в ряд 15 деревьев. Чему равно расстояние между крайними деревьями?

Ответ

Ответ. 70 метров.
19.
Нарисуйте ломаную, пересекающую каждое своё звено ровно 2 раза. (Пересечения считаются только во внутренних точках звеньев, а не в вершинах.)

Ответ

Ответ. Например, пятиконечная звезда.
20.
Сколько существует трёхзначных, у которых последняя цифра равна произведению двух первых цифр?

Ответ

Ответ. 32 числа.

Зачётный рубеж

1.
Разрежьте прямоугольник 2×1 на 3 части, из которых можно составить квадрат.
2.
В трёх ящиках лежат орехи. В первом на 99 орехов меньше, чем в двух других вместе, во втором — на 19 меньше, чем в первом и третьем вместе. Сколько орехов в третьем ящике?

Ответ

Ответ. 59 орехов.
3.
Камень весит 5 кг, еще треть камня и еще половину камня. Сколько весит камень?

Ответ

Ответ. 30 кг.
4.
Какие две цифры нужно поставить на место звездочек, чтобы пятизначное число 517** делилось на 6, 7 и 8?

Ответ

Ответ. 57144.
5.
Расставьте в вершинах куба натуральные числа от 1 до 8 так, чтобы суммы четырёх чисел на каждой грани были одинаковы.
6.
45 конфет стоят столько же рублей, сколько конфет можно купить на 20 рублей. Сколько стоят 75 конфет?

Ответ

Ответ. 50 рублей.
7.
За один ход разрешается умножить число на 2 или прибавить к нему 1. За какое наименьшее число ходов можно из 1 получить 99?

Ответ:

Ответ:. За 9 ходов.
8.
Поезд переехал автотрассу шириной 5 метров за 10 секунд, а мимо перрона длиной 200 метров проехал за 15 секунд. Какова длина состава?

Ответ

Ответ. 385 метров.
9.
Решите числовой ребус: ABA + BAB = BBBC.

Ответ

Ответ. 919 + 191 = 1110.
10.
Сколько существует различных квадратов со сторонами, идущими по линиям сетки квадрата 8×8?

Ответ

11.
Четверо друзей купили лодку. Первый заплатил половину того, что остальные; второй заплатил треть того, что остальные; третий — четверть того, что остальные, а четвёртый заплатил 130 рублей. Сколько стоила лодка?

Ответ

Ответ. 200 + 150 + 120 + 130 = 600.
12.
Огромный военный оркестр выступал на площади. Сначала музыканты выстроились в квадрат, а затем перестроились в прямоугольник, причём количество шеренг увеличилось на 5. Сколько музыкантов было в оркестре?

Ответ

13.
На какое наибольшее число частей можно разрезать круглый торт пятью прямолинейными разрезами?

Ответ

Ответ. На 16 частей.
14.
Среди натуральных чисел от 1 до n ровно половина имеет в записи цифру 1. Найти все такие n от 1 до 100.

Ответ

Ответ. 2, 16, 24
15.
Какова максимально возможная разность между трёхзначными числом и суммой его цифр?

Ответ

16.
Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на сумму своих цифр даёт в остатке 22.

Ответ

17.
Средний возраст одиннадцати игроков футбольной команды — 22 года. Во время матча один из игроков был удалён за грубость. Средний возраст оставшихся на поле игроков стал равен 21 году. Сколько лет удалённому футболисту?

Ответ

Ответ. 32 года.
18.
Найдите трёхзначное число такое, что если в нём стереть цифру единиц, то полученное число будет кратно 7, если стереть цифру десятков — будет кратно 11, а если стереть цифру сотен — то 13.

Ответ

19.
Приведите пример числа, оканчивающегося на цифру 2, которое при перестановке этой цифры в начало увеличивается вдвое.

Ответ

Ответ. Например, 105263157894736842.
20.
Какое наибольшее количество натуральных чисел от 1 до 1000 можно выбрать так, чтобы сумма любых трёх из них делилась на три нацело?

Ответ

Ответ. 334 числа.