МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 4

1.

Кузнечик прыгал вперёд и назад вдоль прямой и вернулся в исходную точку. Длина каждого прыжка равна 1 м. Докажите, что кузнечик сделал чётное число прыжков.

2.

На доске записано 4 числа: 0, 0, 0, 1. За один ход разрешается прибавить по 1 к любым двум из этих чисел. Можно ли за несколько ходов получить 4 одинаковых числа?

3.

На столе стоят 10 стаканов. Из них 9 стоят правильно, а один перевернут донышком вверх. Разрешается одновременно переворачивать любые два стакана. Можно ли, повторяя эту операцию, поставить все стаканы правильно?

4.

На доске написаны натуральные числа от 1 до 2007. За ход можно стереть два числа, написав вместо них разность. В итоге, после 2006 ходов, останется одно число. Может ли это быть единица?

5.

В ряд выставлено k фишек. Разрешено менять местами две фишки, стоящие через одну. Можно ли с помощью таких операций переставить все фишки в обратном порядке, если a) k=100; b) k=101.

6.

В квадратной таблице а) 4 × 4; б) 5 × 5 стоит один знак « − », остальные — « + ». Разрешается одновременно менять знак во всех клетках одной строки или во всех клетках одного столбца. Можно ли получить таблицу с одними плюсами?

7.

У каждого марсианина по 3 руки. Могут ли 15 марсиан взяться за руки так, чтобы свободных рук не осталось?

8.

На доске написано число n=100! Это число стирается, и вместо него пишется число, равное сумме цифр n. Затем новое число стирается, и пишется его сумма цифр, и т.д. В конце останется одна цифра. Какая?

9.

В пробирке находятся вирусы трёх типов: A (10 штук), B (11 штука) и C (12 штуки). Два вируса любых двух разных типов могут слиться в один третьего типа. После нескольких слияний в пробирке останется только один вирус. Каков его тип?

10.

Можно ли выпуклый 11-угольник разрезать на параллелограммы?

11.

На шести ёлках сидят шесть чижей, на каждой ёлке — по чижу. Ёлки растут в ряд с интервалами в 10 метров. Если какой-то чиж перелетает с одной ёлки на другую, то какой-то другой чиж перелетает на столько же метров, но в обратном направлении. Могут ли все чижи собраться на одной ёлке? А если чижей и ёлок семь?