МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 2

1.

Один из пяти братьев разбил окно.
Андрей сказал: ,,Это или Витя, или Толя''.
Витя сказал: ,,Это сделал не я и не Юра''.
Юра сказал: ,,Один из них сказал правду, а другой — нет''.
Дима сказал: ,,Нет, Юра, ты не прав''.
Кто на самом деле разбил окно, если не менее трёх братьев сказали правду?

2.

В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, квас, вода и газировка. Известно, что: 1) Вода и молоко не в бутылке. 2) Сосуд с газировкой стоит между кувшином и сосудом с квасом. 3) В банке не газировка и не вода. 4) Стакан стоит между банкой и сосудом с молоком. В каком сосуде что находится?

3.

Сначала на доске написано число ноль. Двое по очереди делают следующие ходы: игрок выбирает любое из чисел 1, 2, 3 или 4 и прибавляет его к записанному на доске числу. Выигрывает тот, что первым назовёт число, большее 25. Есть ли у одного из игроков выигрышная стратегия? Если есть, то как он должен играть?

4.

Дан треугольник ABC. На стороне AC взяли точку D, на AB — точку E, на BC — точку F. Известно, что BEDF — ромб и что AD : DC = 1 : 2. Докажите, что AE : FC = 1 : 4.

5.

В треугольнике ABC угол C прямой. Биссектиса угла C пересекается с окружностью, описанной около треугольника ABC, в точке F. Докажите, что треугольник ABF равнобедренный и прямоугольный.

6.

На поляне расположились пятеро жителей острова рыцарей и лжецов (рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут) и заезжий путешественник (не рыцарь и не лжец). Между жителями острова завязался разговор:
— Ровно половина присутствующих — лжецы, — сказал первый.
— Более четверти из присутствующих — рыцари, — заметил второй.
— Более трети из присутствующих — лжецы, — сказал третий.
— Рыцарей и лжецов среди нас поровну, — сказал четвертый.
— Вы все лжете! — сказал пятый.
Сколько из них лжецов?

7.

Возьмите трижды мои годы через три года, да отнимите трижды мои годы три года назад и тогда вы получите мой возраст. Сколько мне лет?

8.

В одном стакане было молоко, а в другом — столько же кофе. Из стакана молока перелили одну ложку в стакан с кофе и размешали. Затем такую же ложку смеси перелили обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: кофе в стакане с молоком или молока в стакане с кофе?