МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 15

1.

В записи *1*2*4*8*16*32*64 = 27 вместо знаков «*» поставьте знаки «+» или «−» так, чтобы равенство стало верным.

2.

Может ли быть верным равенство К×О×Т = У×Ч×Ё×Н×Ы×Й, если вместо букв в него подставить цифры от 1 до 9 (разным буквам соответствуют разные цифры)?

3.

У короля 19 баронов-вассалов. Может ли оказаться так, что у каждого вассального баронства 1, 5 или 9 соседних баронств?

4.

В некотором королевстве было 32 рыцаря. Некоторые из них были вассалами других (вассал может иметь только одного сюзерена, причём сюзерен всегда богаче своего вассала). Рыцарь, имевший не менее четырёх вассалов, носил титул барона. Какое наибольшее число баронов могло быть при этих условиях? (В королевстве действовал закон «вассал моего вассала — не мой вассал».)

5.

Лифт в 100-этажном доме имеет 2 кнопки: «+7» и «−9» (первая поднимает лифт на 7 этажей, вторая опускает на 9). Можно ли проехать: а) с первого этажа на второй; б) со второго на первый; в) с любого этажа на любой этаж?

6.

Двое по очереди ставят коней в клетки шахматной доски так, чтобы кони не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть?

7.

Путешественник выходит из своего родного города и отправляется в самый дальний от него город страны, затем — в город, самый дальний от этого города, и так далее. Расстояния между всеми городами различны. Докажите, что если путешественник не вернулся в родной город после второго перехода, то он никогда в него не вернётся.

8.

Имеются два бикфордовых шнура. Шнуры при поджигании горят неравномерно, но каждый полностью сгорает за одну минуту. Как с помощью этих шнуров отмерить а) 30 секунд; б) 45 секунд?

9.

Игра «15» представляет собой квадратную коробочку 4×4 с фишками, занумерованными числами от 1 до 15. В начале игры пустое поле располагалось в правом нижнем углу. За один ход я сдвигал одну фишку на соседнее с ней пустое поле. Через несколько ходов порядок фишек изменился, но пустое поле вновь оказалось в правом нижнем углу. Докажите, что я сделал чётное число ходов.

10.

В круг радиуса 1 вписан пятиугольник. Докажите, что сумма длин его сторон и диагоналей меньше 17.