МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 3

1.

Одна сторона равнобедренного треугольника равна 20 см, а другая равна ²/₅ третьей стороны. Найдите периметр этого треугольника.

2.

На окружности даны 10 точек. Двое по очереди соединяют любые две ещё не соединённые точки отрезком так, чтобы эти отрезки не имели общих точек. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

3.

Коля и Вася по очереди ломают шоколадку 5×7 (первым ломает Коля, за один ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления). Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

4.

Игра начинается с числа 60. Двое по очереди уменьшают имеющееся число на любой из его делителей. Кто получит 0 — проиграл.

5.

Дана клетчатая доска размерами а) 8×8; б) 8×9 клеток. Играют двое, ходят по очереди, за ход разрешается вычеркнуть любую горизонталь или любую вертикаль, если в ней к моменту хода есть хотя бы одна невычеркнутая клетка. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

6.

Биссектриссы углов B и C треугольника ABC пересекаются в точке K. Прямая, проходящая через точку K параллельно BC, пересекает AB в точке M, а BC — в точке N. Докажите, что MN=BM + CN.

7.

Кошка ловит мышку в лабиринтах (см.рис.). Кошка и мышка ходят по очереди, за один ход можно перейти в соседнее поле (по нарисованному отрезку). Начинает кошка. Кошка съедает мышку, если оказывается с ней в одной точке. Удастся ли ей это?

8.

Двое играют в шахматы, но каждый делает по два хода сразу. Докажите, что у второго нет выигрышной стратегии.

9.

а) Имеется полоска 1×20. В двух самых правых клетках стоят фишки (по одной в клетке). Игрок на своём ходу должен одну из фишек переставить влево на любую незанятую клетку. Кто не может сходить, тот проиграл. б) Та же задача для полоски 1×21.

10.

В коробке 30 спичек. Двое по очереди берут из коробка не более половины лежащих в нём спичек. Кто не может сделать ход — проиграл.