МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 5

1.

5 мальчиков нашли 9 грибов. Докажите, что хотя бы двое из них нашли равное количество грибов.

2.

Можно ли в какую-нибудь прямоугольную таблицу поставить числа так, чтобы в каждом столбце сумма была положительна, а в каждой строке — отрицательна?

3.

В таблице m×n расставлены числа так, что сумма чисел в любой строке и в любом столбце равна 10. Докажите, что m=n.

4.

Докажите, что из любых трёх целых чисел можно выбрать два, сумма которых чётна.

5.

По окружности расставлены 100 чисел. Известно, что каждое из чисел равно среднему арифметическому двух соседних. Докажите, что все числа равны.

6.

Докажите, что если (m − 1)! + 1 делится на m, то число m простое.

7.

Точка M лежит внутри треугольника ABC. Сравните углы ABC и AMC.

8.

На столе рубашкой вниз лежит игральная карта. Можно ли, перекатывая ее по столу через ребро, добиться того, чтобы она оказалась на прежнем месте, но а) рубашкой вверх; б) рубашкой вниз и вверх ногами?

9.

У шахматной доски а) выпилена угловая клетка; б) выпилены две противоположные угловые клетки. Можно ли такую испорченную доску распилить на прямоугольники 1×2?

10.

Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки какой-либо горизонтали или вертикали. Может ли при этом получиться доска, у которой ровно одна черная клетка?

11.

В тупоугольном треугольнике острый угол разделён на равные части. Докажите, что противоположная сторона поделена на отрезки, возрастающие по длине по мере удаления от вершины.

12.

Даны целые числа a₀, a₁, …, a_n. Известно, что числа a₀ и a₀ + a₁ + … + a_n нечётны. Докажите, что уравнение

a₀ + a₁ x + a₂ x² + … + a_{n − 1} x^{n − 1} + a_n xⁿ = 0

не имеет целых корней.