МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 13

1.

На полке рядом стоят 1-й и 2-й тома собрания сочинений Лермонтова. Страницы каждого тома имеют вместе толщину 7 см, а обложка — каждая — 2 мм. Книжный червь прогрыз (перпендикулярно страницам) от первой страницы первого тома до последней страницы второго тома. Какой длины путь он прогрыз?

2.

В конференции участвовали 19 учёных. После её окончания каждый отправил 2 или 4 письма другим участникам конференции. Могло ли случиться, что каждый участник получил ровно 3 письма? (Письма на почте не теряют!)

3.

— У Антона больше тысячи книг, — сказала Маша.
— Нет, книг у него меньше тысячи, — возразила другая Маша.
— Одна-то книга у него наверняка есть, — сказал Глеб.
Если истинно только одно из этих утверждений, сколько книг у Антона?

4.

Гусеница хочет проползти из одного угла кубической комнаты (на полу слева) в противоположный (на потолке справа). Найти кратчайший путь такого путешествии по стенам комнаты.

5.

Докажите, что n² + 1 не делится на 3 ни при каком целом n.

6.

Можно ли нарисовать на плоскости девять отрезков так, чтобы каждый пересекался бы ровно с тремя другими?

7.

Докажите, что доску 102×102 нельзя замостить фигурками 1×4.

8.

На доске написаны числа 1, 2, ..., 101. Разрешается стереть любые два числа и записать их разность. Повторив операцию сто раз, получим одно число. Может ли оно быть нулём?

9.

Имеются n целых чисел. Докажите, что среди них найдутся несколько (или, быть может, одно), сумма которых делится на n.

10.

Улитка за день залезает наверх по столбу на 3 см, а за ночь, уснув, нечаянно спускается на 2 см. Высота столба 10 см. Через сколько дней улитка заползёт наверх?

11.

Вычислить сумму

12.

Часть жителей некого острова всегда говорят правду, остальные --- всегда лгут. Путешественник, оказавшийся на острове, в совершенстве владеет языком островитян, только не помнит, какое из двух слов «пиш» и «таш» означает «да», а какое — «нет». Путешественник дошёл до места, где дорога раздваивалась, причём одна из дорог ведёт в деревню, а другая — в болото. На распутье он встретил аборигена. Сможет ли путешественник, задав всего один вопрос (предполагающий ответ «да» или «нет», т. е. «пиш» или «таш»), узнать, какая из двух дорог ведёт в деревню?