МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 0. Вступительная работа

1.

Что больше: 2006/2007 или 2007/2008?

2.

10-килограммовый арбуз содержал 99% воды. Потом он немного усох, и воды в нём стало 98%. Найдите вес арбуза после усыхания.

3.

Можно ли раскрасить плоскость а) в два, б*) в три цвета так, чтобы любые две точки, находящиеся на расстоянии один метр, имели разный цвет?

4.

Каждый день в 12:00 из Москвы во Владивосток и из Владивостока в Москву отправляется скорый поезд. Поезд идёт ровно 7 суток. Пассажир выезжает из Владивостока. Сколько встречных поездов он насчитает, пока приедет в Москву?

5.

Может ли в стране, в которой из каждого города выходит по 3 дороги, быть ровно 100 дорог?

6.

В треугольнике ABC угол B прямой, AB = BC = 1. Точка K лежит на стороне AC. Чему равна сумма расстояний от точки K до сторон AB и BC?

7.

Имеется линейка длиной 9 см без делений. Какое наименьшее число делений нужно нанести на линейку, чтобы ею можно было отложить отрезки любой из длин 1 см, 2 см, ..., 9 см, прикладывая линейку лишь один раз?

1.

За круглым столом сидят 2007 представителей четырех племен: люди, гномы, эльфы и гоблины. Известно, что люди никогда не сидят рядом с гоблинами, а эльфы — рядом с гномами. Докажите, что какие-то два представителя одного и того же племени сидят рядом.

2.

Мимо наблюдателя по дороге проехали с равными промежутками времени автобус, мотоцикл и грузовик. Мимо другого наблюдателя они проехали с такими же промежутками, но в другом порядке: автобус, грузовик, мотоцикл. Найдите скорость автобуса, если скорость грузовика 60 км/ч, а скорость мотоцикла — 30 км/ч.