МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Примеры и конструкции

1.

Среди четырёх людей нет трёх с одинаковым именем, или с одинаковым отчеством, или с одинаковой фамилией, но у каждых двух совпадает или имя, или отчество, или фамилия. Может ли такое быть?

2.

Придумайте трехзначное число, запись которого состоит из различных цифр, следующих в порядке возрастания, а в названии этого трехзначного числа все три слова начинаются с одной и той же буквы.

3.

Закрасьте некоторые клетки квадрата 4х4 так, чтобы любая закрашенная клетка имела общую сторону ровно с тремя незакрашенными.

4.

Расставьте в квадратной комнате вдоль стен 10 кресел так, чтобы у каждой стены стояло кресел поровну.

5.

Составьте из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 магический квадрат, то есть разместите их в таблице 3х3 так, чтобы суммы чисел по строкам, столбцам и двум диагоналям были одинаковы.

6.

Как расположить на футбольном поле 6 футболистов, чтобы каждый из них имел возможность сделать прямолинейную передачу по земле ровно четырем другим?

Дополнительные задачи 1

7.

Как расположить 16 шашек в 10 рядов по 4 шашки в каждом ряду? Как расположить 9 шашек в 10 рядов так, чтобы в каждом ряду было по 3 шашки? (ряд – это несколько шашек, лежащих на одной линии)

8.

Золотошвея разместила 20 учениц в комнатах своего дома, как показано на рисунке. По вечерам она проверяла, чтобы в комнатах вдоль каждой стены дома жили 7 девушек. Однажды в гости к ним приехали 4 подружки.

а) Разместите учениц и их гостей в комнатах так, чтобы золотошвея ничего не заметила (то есть насчитала вдоль каждой стены дома по 7 девушек).

б) На следующий день 4 девушки-ученицы уехали провожать подруг. Разместите 16 оставшихся так, чтобы опять вдоль каждой стены дома оказалось по 7 девушек.

9.

При делении числа 2•3=6 на 4 получаем в остатке 2. При делении числа 3•4=12 на 5 получаем в остатке 2. Верно ли, что остаток от деления произведения двух последовательных чисел на число, следующее за ними, всегда равен 2?

Дополнительные задачи 1

10.

На шахматной доске расставлены фигуры так, что на каждой горизонтали и вертикали стоит не меньше двух фигур. Всегда ли можно снять с доски несколько фигур так, чтобы на каждой горизонтали и вертикали осталось ровно по одной фигуре?

11.

Метро города Урюпинска состоит из трёх линий и имеет по крайней мере две конечные станции и по крайней мере два пересадочных узла, причём ни одна из конечных станций не является пересадочной. С каждой линии на каждую можно перейти по крайней мере в двух местах. Нарисуйте пример такой схемы метро, если известно, что это можно сделать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя два раза один и тот же отрезок.