МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

В клетках таблицы 3 × 3 стоят нули. Можно прибавлять по 1 к клеткам любого квадрата 2 × 2. Можно ли получить таблицу?

Круг разделили на 6 секторов, в каждом лежит селедка. За ход можно одну селедку передвинуть в соседний сектор. Можно ли собрать все селедки в одном секторе ровно за 20 ходов?

В ряд выписаны числа 1, 2, 3, … 100. Можно менять местами любые два числа, между которыми стоит ровно одно. Можно ли получить ряд 100, 99, 98, … 2, 1?

К числу можно прибавлять сумму его цифр. Можно ли за несколько шагов получить из единицы число 123456789?

Разменный автомат меняет одну монету на пять других. Можно ли с его помощью разменять одну монету на 26 монет?

На доске написаны числа 1,2, … 2004. Разрешается стереть любые два числа и написать вместо них разность этих чисел. Можно ли добиться того, чтобы все числа на доске были нулями? А если бы мы закончили числом 2005?

На доске написано 100 плюсов и 100 минусов. Можно заменять любые 2 минуса на плюс, плюс и минус на минус, два плюса на плюс. Доказать, что знак, который останется в конце, не зависит от порядка операций.

Круг разделен на 6 секторов, в которых по часовой стрелке стоят числа а) 1, 0, 0, 0, 0, 0;   б) 1, 0, 1, 0, 0, 0. Можно прибавлять по единице к любым двум соседним секторам. Можно ли сделать все числа равными?

В шести секторах круга лежат по селедке. Можно одновременно передвинуть две селедки в соседних секторах, двигая их в противоположных направлениях. Можно ли получить расположение а) 6, 0, 0, 0, 0, 0;   б) 5, 1, 0, 0, 0, 0.

На доске написаны числа от 1 до 20. Можно стереть любые два числа a и b и записать число а) a + b   б) ab   в) a + b - 2. Какое число получится в итоге?