МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 5. ПУТЕШЕСТВИЯ

1.	Между 9 планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля—Меркурий, Плутон—Венера, Земля—Плутон, Плутон—Меркурий, Меркурий—Венера, Уран—Нептун, Нептун—Сатурн, Сатурн—Юпитер, Юпитер—Марс, Марс—Уран. Можно ли добраться с Земли до Марса?
2.	Нарисуйте эти картинки, не отрывая карандаша от бумаги и проводя каждую линию ровно один раз.
3.	Пара черных и пара белых шахматных коней стоят на доске 3×3 так, как показано на рисунке Можно ли так переместить коней, a) чтобы белые кони заняли места черных, а черные — места белых, b) чтобы белые и черные заняли нижнюю и верхнюю стороны квадрата c) чтобы черные кони вернулись на свои места, а белые местами поменялись?
4.	a) В стране Цифра есть 9 городов. Они называются 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Между двумя городами есть автодорога, если двузначное число, образованное их цифрами делится на 3. Можно ли объехать все города страны, побывав в каждом один раз? b) В этой стране между двумя городами есть железная дорога, если их цифры отличаются по крайней мере вдвое. Можно ли осуществить такое путешествие на поезде?
5.	В некотором царстве, некотором государстве между любыми городами есть либо железная, либо автомобильная дорога. Докажите, что пользуясь одним из этих видов транспорта можно из любого города добраться до любого другого!