|
Занятие 8. Делимость
|
1. |
Фея Фёкла вычислила число 100!=1·2·3·4·...·100. У полученного числа посчитала сумму
цифр, у нового числа опять посчитала сумму цифр, и так далее, до тех пор, пока не получилось однозначное число.
Какое однозначное число получила фея Фёкла?
|
Ответ
Указание 1
Указание 2
|
|
Ответ.
Фёкла получила число 9.
|
|
|
|
|
Указание 1.
В этой задаче нужно использовать признак
делимости на 9
|
|
|
|
|
Указание 2.
100! делится на 9, так как 100! содержит множитель 9.
Значит, сумма цифр числв 100! делится на 9.
Точно так-же, сумма цифр этого числа делится на 9.
В итоге, мы получим однозначное число, которое делится на 9.
Это число либо 0, либо 9. Докажите, почему 0 не может получиться?
|
|
|
|
| |
2. |
Фея Федосья начала считать пальцы на своей руке от большого до мизинца, потом развернулась и продолжила счет (теперь большой стал девятым), потом опять развернулась.
Так она считала до 2004. Выучившая математику Фёкла сразу догадалась, на каком пальце закончился счет. А вы?
|
Ответ
Указание 1
Указание 2
|
|
Ответ.
Федосья остановится на безымянном пальце,
четвёртом, если считать от большого к мизинцу.
|
|
|
|
|
Указание 1.
Заметьте, что числа, которые
попадают на большой палец, всегда отличаются
на 8 и дают остаток 1 при делении на 8.
На самом деле, сначала большой палец имел номер 1,
потом 9, потом 17 и т.д.
|
|
|
|
|
Указание 2.
Если мы двигаемся от большого к мизинцу, то
указательный палец получает номера, которые
при делении на 8 дают остаток 2.
A если от мизинца к большому, то у указательного
пальца номера дают остаток 0.
У среднего пальца номера при делении на 8 дают остаток либо 3, либо 7.
У четвёртого (безымянного) --- либо 4, либо 7. А у мизинца остаток 5.
Теперь только осталось найти остаток при делении
на 8 числа 2004!
|
|
|
|
| |
3. |
Помогите фее Февронье решить ребус:
3 × 1xy = z36
|
Ответ
Указание
|
|
|
|
Указание.
Так как в левой части уравнения
есть множитель 3, то и правая часть делится на 3.
Какие значения может принимать z,
чтобы число z36 делилось на 3?
Потом для каждого значения z разделите
число z36 на 3 и найдите, какие
значения z подходят, и какие
им соответсятвуют значения x и
y.
|
|
|
|
| |
4. |
Теперь Февронья ищет такие нечётные числа a, b, c и d, что
(1/a)+(1/b)+(1/c)+(1/d)=1. Удастся ли ей это сделать?
|
Ответ
Решение
|
|
Ответ.
Таких чисел не существует.
|
|
|
|
|
Решение.
Разобьём дроби на пары и приведём их к
общему знаменателю.
(a+b)/(ab)+(c+d)/(cd) = 1
Заметим, что так как числа a, b, c и d нечётные,
то (a+b) и (c+d) чётные числа, а
(ab) и (cd) нечётные.
Перепишем наше уравнение в таком виде
ч1/н1+ч2/н2 = 1,
где ч1 и ч2 чётные числа, а н1 и н2 --- нечётные.
Приведём и эти дроби к общему знаменателю, получим
(ч1×н2 + ч2×н1)/(н1×н2) = 1.
Числитель этой дроби чётный, а знаменатель нечётный, следовательно, это дробь никогда
не может быть равна 1.
|
|
|
|
| |
5. |
А этот ребус Февронья долго не могла решить:
АБ × ВГ = ДДЕЕ.
А имеет ли он решение?
|
Ответ
Указание
|
|
|
|
Указание.
Число ДДЕЕ делится на 11, так как
ДДЕЕ = 11 × Д0Е.
А делится ли число АБ × ВГ на 11?
|
|
|
|
| |
7. |
У фей Федосьи и Фёклы есть много одинаковых лоскутков в форме уголков из трёх клеток.
Фёкла хочет сшить себе плед 5×5, а Федосья — 7×7. У кого из них плед получится?
|
Ответ
Указание
|
|
Ответ.
Плед получится только у Фёклы.
|
|
|
|
|
Указание.
Если плед можно сшить из уголков, то его площадь должна
обязательно делится на 3, поэтому у Федотьи плед не получится.
Но совсем не обязательно, если площадь пледа делится
на 3, то его можно сшить из уголков! (нарисуйте такую фигуру,
которая состоит из делящегося на 3 числа клеточек,
но которую нельзя представить в виде уголков.)
Чтобы доказать, что у Фёклы плед получится, надо нарисовать выкройку, по которой она
будет шить.
|
|
|
|
| |
7. |
Федосья заметила, что если к любому трёхзначному числу приписать все его цифры в обратном порядке,
то получится число, кратное 11. Например, 120021=11·10911. Докажите это!
Останется ли свойство верным для четырёхзначных чисел?
|
Указание
|
|
Указание.
Припишем к трёхзначному числу
abc число cba и получим
число abccba. Докажем, что оно всегда делится на 11.
abccba = a×100001 +
b×10010 + c×1100.
Каждое из его слагаемых делится на 11 (почему?),
поэтому и всё число делится на 11.
Для четырехзначного числа доказывается точно так-же,
проведите доказательство сами.
|
|
|
|
| |
8. |
Фея Флорентина плавает в бассейне. Она решила проплыть вдоль бассейна туда и обратно n раз.
Каждый раз, вернувшись на старт, она считает, какую долю тренировки уже завершила (эта доля равна
k/n, где k — число кругов, которые она уже проплыла).
Фёкла заметила, что если k — составное число, то эта дробь сократима (она может сокращаться и при простом k, но не обязательно).
Какое наибольшее число n может иметь это свойство?
|
|
