МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Сколько найдется натуральных чисел, меньших 100, цифры которых идут в порядке возрастания?

Мне удалось, взяв по два раза цифры 1, 2, 3, 4, написать восьмизначное число у которого между единицами стоит одна цифра, между двойками – две, между тройками – три, а между четверками – ровно четыре цифры. Что за число получилось?

Шеф секретной службы составил следующую инструкцию взаимодействия слежки для своих семи главных агентов: 001 следит за тем, кто следит за 002, 002 – за тем, кто следит за 003, ... 007 следит за тем, кто следит за 001. Но вдруг пришел приказ: взять на службу еще агента 008. Как происходила слежка сначала, и сможет ли шеф составить аналогичную инструкцию и для восьми агентов?

Найдутся ли два последовательных натуральных числа таких, что сумма цифр каждого из них делится на 11?

На доске написано число 2. Каждый из двух игроков своим ходом прибавляет к числу один из его делителей, меньший написанного числа. Выигрывает тот, кто напишет на доске число 19891988 (писать большие числа запрещается). Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнер?

Каждая точка окружности окрашена в один из двух цветов красный или синий. Доказать, что в эту окружность можно вписать равнобедренный треугольник с вершинами одного цвета.

За круглым столом сидят 7 дипломатов. Они должны провести по одной беседе друг с другом. Два дипломата будут беседовать только в том случае, если они окажутся рядом. После того, как каждый из дипломатов закончил переговоры со своими соседями, дипломаты встают и занимают новые положения. С каким минимальным количеством пересажи- ваний может пройти встреча?