МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Докажите, что это равенство верно для любого n

Последовательность a_n задана правилами a₁ = 1, a_n+1 = a_n + 2004 Докажите, что a_n = 2004n - 2003.
 

Последовательность b_n задана правилами b₁ = 1, b_n+1 = 2b_n + 1 Докажите, что b_n = 2ⁿ - 1.
 

a) Докажите, что число 11..,1, в котором 3ⁿ единиц, делится на 3ⁿ
b) Верно ли, что число, у которого сумма цифр делится на 27, само делится на 27?
 

Игра «Ханойская башня» Имеется пирамида с n кольцами возрастающих размеров (внизу - самое большое) и ещё два пустых стержня той же высоты. Разрешается перекладывать верхнее кольцо с одного стержня на другой, но при этом запрещается класть большее кольцо на меньшее. Докажите, что можно переложить все кольца с одного стержня на другой.
 

Докажите, что 4ⁿ - 3n - 1 делится на 9 при любом натуральном n.
 

Строители строят одноэтажный дом из бетонных плит, окрашенных с одной стороны в синий цвет, а с другой — в жёлтый. Сначала строятся наружные стены, а потом одна за другой проводятся прямые перегородки от стены до стены в любом направлении. Докажите, что если снаружи дом синий, то сколько бы перегородок в нём не провели, там обязательно найдётся комната, стены которой жёлтые.
 

На обычных часах разность между двумя соседними числами (между большим и меньшим из них) равна 1 или 11.
a) Можно ли так переставить числа на циферблате, чтобы разность стала не больше 2?
b) А можно так переставить, чтобы разность стала не меньше 5?
c) И так, чтобы разность стала не меньше 6?
 

На плоскости проведено n прямых так, что никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. На сколько частей эти прямые делят плоскость?