МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Ответ. Выигрывает 1 игрок.

Указание 1. Тут важно, что у многоугольника чётное число вершин. Попробуйте поиграть в эту игру с 4, 6 и 8-угольником.

Указание 2. В первый ход нужно провести большую диагональ многоугольника, например, от 1 до 16 вершины. После этого многоугольник будет разделен на 2 равные части.

Решение. После того, как многоугольник разделён на 2 части, первому игроку нужно так провести диагонали, чтобы получившаяся картинка была симметричной относительно большой диагонали.

Ответ. Если начинать с числа 4883, то выигрышная стратегия есть у 1 игрока, если с числа 9876543210 --- у второго игрока.

Указание 1. Если бы игроки начали играть не с числа 4883, а с числа 1, 2 или 3, то выиграл бы 1 игрок. Назовём число своим для игрока, если это число такое что, начав игру с этого числа, выигрышная стратегия есть у игрока, который начинает. Если игроку во время игры досталось своё число, то у него есть выигрышная стратегия. Другие числа мы назовём несвоими. Найдите 2 самых маленьких несвоих числа.

Указание 2. Однозначное число не может несвоим.
Рассмотрим 10. Первый игрок вычитает из него 1, получает 9. А число 9 --- своё, так как оно досталось второму игроку, то у него есть выигрышная стратегия. Итак, первое несвоё число это 10.
Рассмотрим число 11. Первый игрок из него может получить только 10. Число 10 --- несвоё, следовательно, второй игрок проиграет, а первый победит.
Если игрок каким либо своим ходом может получить несвоё число, значит у него есть выигрышная стратегия, а если все его ходы приводят только к своим числам, то выигрышной стратегии у него нет.

Указание 3. Докажите, что любое число, которое оканчивается не на 0 - своё, а то, которое оканчивается на 0 --- несвоё.

Решение. В любом случае выигрывает тот, кто делает последний ход. Если 2005 единиц, то последний ход делает второй игрок, а если 2004, то первый.
Если во время игры было поставлено чётное число "+", то в результате получится нечётное число, если нечётное число плюсов, то чётное число. Последний игрок всегда может сделать количество плюсов нечётным, поэтому он выиграет.

Ответ. Должен выиграть 1 игрок.

Указание. Если у нас есть 3 подряд незакрашенные клетки, то любой из игроков может сделать ход. Но если у нас есть только 2 подряд незакрашенные клетки, то закрасить три подряд клетки мы не сможем.
Нужно ограничить на полоске 2 незакрашенных клетки, и, когда у вашего противника не будет места для хода, первый игрок всегда сможет закрасить их.

Ответ. Выиграет 1 игрок.

Указание 1. Поиграйте в эту игру, начиная не с числа 60, а с числа 1, 2 и т.д.. Если мы
Если мы начинаем с чётного числа, то выигрывает первый игрок, а если с нечётного, то второй. Попробуйте это доказать.

Указание 2. Из чётного числа, игрок всегда может сделать нечётное, например, вычетая из числа 1. Из нечётного же числа, нечётное сделать нельзя (так как, чтобы из нечётного числа путём вычетания получить нечётное, нужно из него вычесть чётное число, а чётных делителей у нечётного числа нет). Поэтому если к нам попадает чётное число, мы всегда можем из него сделать нечётное, то есть всегда сумеем не получить 0. А из нечётного всегда получается чётное и на каком-то шаге обязательно получится 0.

Ответ. В этой игре выигрышной стратегии нет ни к уого.

Указание. На самом деле, эта игра очень похожа на всем известную игру "крестики-нолики".
Нарисуйте магический квадрат 3 × 3. И поиграйте на нём в "крестики-нолики". Взять фишку с цифрой, то же самое, что нарисовать на клетке с этой цифрой свой значок, крестик или нолик. Если вы выиграете в "крестиках-ноликах", значит вы соберёте 3 фишки, сумма чисел на которых равна 15.
Но в крестиках ноликах выигрышной стратегии нет ни у кого, поэтому и в этой игре никто не выигрывает.