МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 10. Противный Дирихле

1.

Докажите, что в этой аудитории заведомо найдутся хотя бы два человека, которые родились в один и тот же день недели.

2.

а)

На Малый мехмат ходит 400 пятиклассников. Верно ли, что хотя бы двое из них отмечают день рождения в один и тот же день?

б)

Все 400 пятиклассников разместились в 15 аудиториях. Докажите, что, как бы ни расположились пятиклассники, всегда найдётся аудитория, в которой больше 25 пятиклассников.

3.

10 туристов отправились в поход. Самому старшему из них 35 лет, а самому младшему

a)

26 лет,

б)

27 лет. Верно ли, что среди туристов есть одногодки?

4.

В тёмной комнате стоит шкаф, в ящике которого лежат 24 чёрных и 24 синих носка. Какое минимальное число носков следует взять из шкафа не глядя, чтобы из них заведомо можно было составить:

а)

по крайней мере одну пару носков одного цвета;

б)

по крайней мере одну пару носков чёрного цвета?

в)

А если в ящике лежат 12 пар чёрных и 12 пар синих ботинок и требуется составить пару одного цвета (как в пункте а)? А если пару чёрного цвета (как в пункте б)?

5.

За победу в математической регате команда из четырёх человек получила 10 конфет. Дети поделили конфеты между собой, не разламывая их. Определите, всегда ли верны ли следующие утверждения:

а)

кому–то досталось по крайней мере 3 конфеты;

б)

кому–то досталось по крайней мере 4 конфеты;

в)

по крайней мере двум людям досталось по крайней мере по две конфеты.

6.

В квадратном ковре со стороной 1 метр моль проела 24 дырки. Докажите, что из этого ковра всегда можно вырезать квадратный коврик со стороной 20 сантиметров, в котором дырок не будет!

7.

Можно ли разложить 54 тетради в 10 непустых стопок так, чтобы количество тетрадей в разных стопках было различным?

8.

В лесу растёт 10001 дерево. Докажите, что либо в этом лесу больше 100 видов деревьев, либо деревьев одного из видов больше 100 штук.

9.

а)

Верно ли, что в этой аудитории всегда найдутся по крайней мере два человека, имеющие одинаковое число друзей в этой аудитории?

б)

Верно ли это для любой аудитории Малого мехмата?