МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 9 (22 ноября 2014 года). Неравенство треугольника.

1.

Докажите, что каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.

2.

В треугольнике длина одной стороны равна 3,8, а длина другой стороны равна 0,6. Найдите длину третьей стороны, если известно, что она выражается целым числом.

3.

Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Докажите, что AC + BD > AB + CD.

4.

Докажите, что каждая сторона треугольника меньше полупериметра этого треугольника. (Полупериметром треугольника называется половина периметра треугольника, т.е. половина от суммы длин сторон этого треугольника. Традиционно периметр обозначают через P , а полупериметр — через p.)

5.

На стороне AC треугольника ABC отметили точку R. Докажите, что по меньшей мере одна из сторон BA и BC больше отрезка BR. Приведите пример треугольника,у которого BA < BR < BC.

6.

Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Докажите, что AC + BD < AB + BC + CD + DA < 2(AC + BD).

7.

Неравенство резинки. Точка R отмечена а) на стороне BC; б) внутри треугольника ABC. Докажите, что AR + RC < AB + BC.

8.

Внутри треугольника ABC взята произвольная точка R. Докажите, что AR + BR + CR < AB + BC + CA < 2(AR + BR + CR).

9.

В треугольнике ABC провели медиану BM . Докажите, что BM < ½(AB + BC).

10.

Внутри равностороннего треугольника ABC отметили точки M и K. Докажите, что MK < AB.

11.

Внутри квадрата ABCD отметили точку K. Докажите, что AK + BK + CK > DK.

12.

Дан треугольник ABC. На биссектрисе его внешнего угла с вершиной C взята точка M. Докажите, что AM + BM > AC + BC.

13.

Точка C лежит внутри прямого угла ARB. Докажите, что периметр треугольника ABC больше 2RC.

14.

Верно ли, что из любых 10 отрезков, каждый из которых длиннее 1см, но короче 55см, можно выбрать три, из которых можно составить треугольник?

15.

а)

Точка B₁ лежит на стороне AB треугольника ABC. Докажите, что периметр треугольника AB₁C меньше, чем периметр треугольника ABC.

б)

Точка B₁ лежит внутри треугольника ABC. Докажите, что периметр треугольника AB₁C меньше, чем периметр треугольника ABC.

в)

Треугольник A₁B₁C₁ лежит внутри треугольника ABC. Докажите, что периметр треугольника A₁B₁C₁ меньше, чем периметр треугольника ABC.

г)

Выпуклый многоугольник разбит прямой линией на две части. Докажите, что периметр каждой из частей меньше периметра исходного многоугольника.

д)

Один выпуклый многоугольник расположен внутри другого. Докажите, что периметр внутреннего многоугольника меньше, чем периметр внешнего.