МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 6 (1 ноября 2014 года). Подсчет двумя способами.

1.

Таблицы

a)

Можно ли в таблице 10×10 расставить числа так, чтобы сумма чисел любой строки была равна 15, а сумма чисел любого столбца была равна 17?

б)

В прямоугольной таблице 8 столбцов, сумма в каждом столбце — по 10, а в каждой строке — по 20. Сколько в таблице строк?

в)

Можно ли в таблицу 5×5 записать числа 1, 2, 3, …, 25 так, чтобы в каждой строке сумма нескольких записанных чисел была равна сумме остальных чисел этой строки?

2.

В строку записаны 10 чисел, причем сумма любых трех подряд равна 7, а сумма всех равна 20. Найдите седьмое число.

3.

Четыре девочки — Катя, Лена, Маша и Нина — участвовали в концерте. Они пели песни. Каждую песню исполняли три девочки. Катя спела 8 песен — больше, чем каждая из остальных, а Лена — 5 песен — меньше, чем каждая из остальных девочек. Сколько песен было спето?

4.

Может ли во время шахматной партии на каждой из 30 диагоналей остаться нечётное число фигур? (Угловая клетка также является диагональю.)

5.

Турниры

а)

В однокруговом турнире участвовали 15 шахматистов. Могло ли оказаться, что каждый из них ровно 5 раз сыграл вничью?

б)

Две команды разыграли первенство по десятиборью, причем за победу в каждом из видов команда получала 4 очка, за ничью — 2 очка и за проигрыш — 1 очко. Вместе обе команды набрали 46 очков. Сколько было ничьих?

6.

Можно ли расставить по кругу 7 целых неотрицательных чисел так, чтобы сумма каких-то расположенных подряд чисел была равна 1, каких-то трех подряд расположенных — 2, …, каких-то трех подряд расположенных — 7?

7.

Футбольный мяч сшит из 32 лоскутов: белых шестиугольников и черных пятиугольников. Каждый черный лоскут граничит с пятью белыми, а каждый белый — с тремя черными и тремя белыми. Сколько лоскутов белого цвета?

8.

Можно ли на рёбрах куба расставить числа от 1 до 12 так, чтобы суммы чисел на всех гранях были одинаковы?