МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 11 (6 декабря 2014 года). Постепенное конструирование.

1.

а) Придумайте 3 различных натуральных числа, чтобы каждое делило сумму остальных; б) то же, но все числа больше 100; в) как в (а), но 4 числа; г) как в (а), но 10 чисел.

2.

Разрежьте квадрат на n меньших квадратов (не обязательно одинаковых) а) n=4; б) n=7; в) n=10; г) n=2014. д) При каких натуральных n можно разрезать квадрат на n меньших квадратов (не обязательно одинаковых)?

3.

Давным-давно в СССР имелись в обращении 3-копеечные и 5-копечные монеты. Докажите, что можно было набрать любую сумму более 7 копеек только такими монетами.

4.

Представьте число 1 в виде суммы а) трех б) четырех в) десяти различных дробей с числителем 1.

5.

На плоскости нарисованы а) 3; б) 4; в) 10 различных прямых. Можно ли раскрасить получившиеся части плоскости в два цвета, чтобы области одного цвета не граничили по отрезку прямой?

6.

Маляр может за один ход перейти на соседнюю по стороне клетку шахматной доски, после этого он должен перекрасить ее в противоположный цвет. Маляр ставится на угловую клетку доски, где все клетки белые. Докажите, что он может покрасить доску в шахматном порядке.

7.

В мешке 24 кг гвоздей. Как, имея только чашечные весы без гирь, отмерить 9 кг гвоздей?

8.

Расставьте различные натуральные числа в таблицу 2×3 (2 строки, 3 столбца) так, чтобы произведения в столбцах были равны, и суммы в строках тоже были равны (но суммы могут отличаться от произведений).

9.

У входа в пещеру с сокровищами стоит бочка с 4 дырками по кругу в крышке. В каждой дырке можно нащупать селедку хвостом вверх или вниз. Али-Баба может просунуть руки в любые две дырки, определить положение селедок под ними и, если хочет, перевернуть одну или обе по своему усмотрению. Когда хвосты всех четырех селедок окажутся направленными в одну сторону, дверь в пещеру откроется. Однако, после того, как Али-Баба вытаскивает руки, бочка некоторое время с дикой скоростью крутится, так что Али-Баба не может определить, куда именно он совал руки раньше. Как Али-Бабе открыть дверь не более чем за 10 засовываний?