МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководитель Дмитрий Владимирович Трущин
2014/2015 учебный год

Занятие 17 (14 марта 2015 года). Конструктивы возвращаются.

1.
У Вани есть пластмассовый уголок без делений с углами 30°, 60° и 90°. Ему нужно построить угол в 15°. Как это сделать, не используя других инструментов?
2.
Какое наибольшее число клеток доски 2014×2014 можно покрасить так, чтобы никакие две закрашенные клетки не соприкасались (даже в одной точке)?
3.
Сложите квадрат 8×8 из 32 доминошек так, чтобы ни в какой точке не сходились четыре доминошки.
4.
Костяшки домино выкладывают в цепь по следующему правилу: сумма очков на соприкасающихся половинках должна делиться на восемь. Какое наибольшее число доминошек может быть в этой цепи?
5.
На плоскости отмечены 100 точек. Разрешено покрасить половину из них в белый цвет, а остальные — в черный. Верно ли, что можно раскрасить точки так, чтобы никакая прямая не отделяла все белые точки от всех черных?
6.
Тетрадный лист имеет размеры 33×41 клеток. Верно ли, что в его клетки можно записать все числа от 1 до 1353 так, чтобы для всех квадратиков размером 2×2 сумма записанных в них четырех чисел была одна и та же?
7.
При каком наименьшем натуральном n в квадрате 4×4 можно расставить 16 различных натуральных чисел, не превосходящих n так, чтобы любые два числа, находящихся в клетках, имеющих общую сторону или вершину, были взаимно просты?
8.
Художник–авангардист Змий Клеточкин покрасил несколько клеток доски размером 7×7, соблюдая правило: каждая следующая закрашиваемая клетка должна соседствовать по стороне с предыдущей закрашенной клеткой, но не должна соседствовать ни с одной другой ранее закрашенной клеткой. Ему удалось покрасить 31 клетку. Побейте его рекорд. Закрасьте а) 32 клетки; б) 33 клетки.
9.
Из Цветочного города в Солнечный ведет шоссе длиной 12км. На втором километре это шоссе расположен ж/д переезд, который 3 минуты открыт, 3 минуты закрыт и т.д. На четвертом и на шестом километрах расположены светофоры, которые 2 минуты горят красным светом, потом 3 минуты — зеленым и т.д. Незнайка выезжает из Цветочного города в Солнечный в тот момент, когда переезд только что закрылся, а оба светофора только что переключились на красный. За какое наименьшее время (в минутах) он сможет доехать до Солнечного города, не нарушая правил, если его электромобиль едет по шоссе с фиксированной скоростью v? (Незнайка может либо стоять на месте, либо ехать со скоростью v. Значение v он выбирает один раз в самом начале пути, и потом уже не может менять его.)

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS