МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 9 (13 ноября 2010 года). Логика

1.

За круглым столом сидели четыре студента. Филолог сидел против Козина, рядом с историком. Математик сидел рядом с Волковым. Соседи Шатрова — Егоркин и физик. Какая профессия у Козина?

2.

Перед вами последовательность фигурок. Сколько клеток в первых ста фигурках вместе?

3.

В Солнечном городе живут честные коротышки, которые всегда говорят одну только правду, и лукавые коротышки, которые всегда лгут. Встретились несколько коротышек из Солнечного города, и каждый заявил всем остальным: „Вы все — лукавые коротышки”. Сколько честных коротышек могло быть среди них?

4.

Проверяя, что четырёхугольный кусок материи имеет форму квадрата, швея перегибает его по каждой диагонали и убеждается, что края каждый раз совпадают. Достаточна ли такая проверка?

5.

Илье Муромцу, Добрыне Никитичу и Алёше Поповичу за верную службу дали 6 монет: 3 золотых и 3 серебряных. Каждому досталось по две монеты. Илья Муромец не знает, какие монеты достались Добрыне, а какие Алёше, но знает, какие монеты достались ему самому. Придумайте вопрос, на который Илья Муромец ответит «да», «нет» или «не знаю», и по ответу на который вы сможете понять, какие монеты ему достались.

6.

У подводного царя служат осьминоги с шестью, семью или восемью ногами. Те, у кого 7 ног, всегда лгут, а у кого 6 или 8 ног, всегда говорят правду. Встретились 4 осьминога. Синий сказал: „Вместе у нас 28 ног”, зелёный: „Вместе у нас 27 ног”, жёлтый: „Вместе у нас 26 ног”, красный: „Вместе у нас 25 ног”. У кого сколько ног?

7.

Десяти мудрецам показали десять белых колпаков и один чёрный. Мудрецов попросили закрыть глаза, затем каждому на голову надели по белому колпаку, а чёрный колпак спрятали. Мудрецам разрешили открыть глаза и объявили, что шоколадку получит тот из них, кто первым догадается, какого цвета на нём колпак. Уже через несколько секунд один из мудрецов заявил, что на нём белый колпак, и получил шоколадку. Как мудрец догадался об этом?

Дополнительные задачи

8.

На доске написаны числа от 10 до 20. За один ход Петя стирает два любых числа, вычисляет их сумму и записывает на доске последнюю цифру получившегося результата до тех пор, пока на доске не останется одно число. Какое число может получиться у Пети?

9.

Часть жителей некого острова всегда говорят правду, остальные — всегда лгут. Путешественник, оказавшийся на острове, в совершенстве владеет языком островитян, только не помнит, какое из двух слов «пиш» и «таш» означает «да», а какое — «нет». Путешественник дошёл до места, где дорога раздваивалась, причём одна из дорог ведёт в деревню, а другая — в болото. На распутье он встретил аборигена. Сможет ли путешественник, задав всего один вопрос (предполагающий ответ «да» или «нет», т. е. «пиш» или «таш»), узнать, какая из двух дорог ведёт в деревню?

10.

Маша загадала число от 1 до 100, а Серёжа пытается его угадать. Для этого он называет разные числа. Если число, названное Серёжей, совпадает с числом, о котором в этот момент думает Маша, то Маша признается, что это то самое число. Если же Серёжа ошибается, то Маша прибавляет к своему числу десять или пятнадцать, в зависимости от собственного желания. Серёжа знает, что Маша так поступает, и не знает, что она прибавляет в каждый момент. Сможет ли он угадать число?