МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 3 (2 октября 2010 года)

1.

Коробейник купил на оптовом рынке партию ручек и предлагает покупателям либо одну ручку за 5 рублей, либо три ручки за 10 рублей, причём обе сделки приносят коробейнику одинаковую прибыль. Какова оптовая цена ручки?

2.

Можно ли двумя ударами топора разрубить подкову на шесть частей, если перемещать части после первого удара не разрешается?

3.

В трёх коробках лежат белые и чёрные шары: в одной — два белых, в другой — два чёрных, в третьей — белый и чёрный. На коробках наклеены таблички с надписями «ББ», «БЧ» и «ЧЧ», причём ни одна из них не соответствует содержимому. Можно ли, достав только один шар из одной коробки, определить, что находится в каждой из коробок?

4.

Кролик повесил в трёх углах своей многоугольной комнаты по лампочке, но оказалось, что не вся комната освещена. На помощь пришёл Винни-Пух: «Я могу перевесить одну лампочку в другой угол, и она одна осветит всю комнату, а две другие будут не нужны». Могло ли так быть?

5.

Из 10 кубиков собрали пирамидку, изображённую на рисунке слева. Переложите пирамидку так, чтобы её форма осталась прежней, но каждый кубик соприкасался только с новыми кубиками.

6.

На столе лежат монеты. Шесть из них лежат орлом вверх, остальные — орлом вниз. Требуется с завязанными глазами разложить эти монеты на две кучи так, чтобы в этих кучах число монет, лежащих орлом вверх, было одинаково. Количество монет в кучах может быть разным (куча может состоять из любого количества монет, в том числе из одной или ещё меньше), монеты можно переворачивать, но определить наощупь, как лежит монета, невозможно.

7.

Какое наименьшее количество распилов необходимо сделать, чтобы разрезать куб размером 3×3×3 на 27 единичных кубиков? (После каждого распила части можно перекладывать и пилить сразу несколько частей.)

Дополнительные задачи

8.

а)

Кролик сказал, что вся его кухня будет освещена одной лампой в том и только том случае, если эту одну лампу поставят на квадратный стол, стоящий посреди кухни. Нарисуйте, какой может быть кухня Кролика.

б)

Винни-Пух сказал, что у него на кухне есть целых два квадратных стола (не соприкасающихся между собой), и его кухня тоже будет целиком освещена одной лампой, но это произойдёт в том и только том случае, если лампу поставят на один из двух столов. Может ли такое быть?

9.

В вершинах куба расставлены натуральные числа так, что числа в соседних (по ребру) вершинах отличаются не более чем на единицу. Докажите, что обязательно найдутся две диаметрально противоположные вершины, числа в которых отличаются не более чем на единицу.

10.

Скупой рыцарь хранит золотые монеты в 77 сундуках. Однажды, пересчитывая их, он заметил, что если открыть любые два сундука, то можно разложить лежащие в них монеты поровну по этим двум сундукам. Потом он заметил, что если открыть любые 3, или любые 4, ..., или любые 76 сундуков, то тоже можно так переложить лежащие в них монеты, что во всех открытых сундуках станет поровну монет. Тут ему почудился стук в дверь, и старый скряга не успел проверить, можно ли разложить все монеты поровну по всем 77 сундукам. Можно ли, не заглядывая в сундуки, дать точный ответ на этот вопрос?