МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 26 (30 апреля 2011 года). Аукцион

В каждой задаче требуется получить результат лучший, чем предъявил предшественник. Достигнуть оптимума может быть непросто.

В каждой аудитории предлагались некоторые (не все) из приведённых ниже задач.

1.

Сколько коней можно расставить на доске 5 на 5 так, чтобы каждый бил нечётное число других? (Принимаются любые продвижения в решении.)

2.

Разрежьте квадрат 7×7 на наибольшее число различных прямоугольников по линиям сетки.

3.

Расставьте в строку как можно больше различных двузначных чисел так, чтобы в любой тройке подряд идущих сумма первых двух делилась на третье (как, например, в тройке 20, 70, 30).

4.

Получите число 2011 с помощью как можно меньшего количества одинаковых цифр (допускаются 4 арифметических действия и скобки, приписывать нельзя, т.е. числа типа 222 или 44 не допускаются).

5.

На доске рисуется клетчатая сетка, и на ней — пятиугольник с вершинами (2,0), (0,2), (2,4), (4,4), (5,1). Задача — нарисовать треугольник наименьшей площади, содержащий данный пятиугольник.

6.

Найдите как можно большее натуральное число, в записи которого не встречается цифра 0, которое делится на сумму своих цифр, причем любое число, получаемое из него отбрасыванием одной или нескольких последних цифр, обладает тем же свойством.

7.

1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6 : 7 : 8 : 9. Расставляя скобки, получить как можно более близкое к 10 число.

8.

На клетчатой бумаге нарисован квадрат 8×8 со сторонами по линиям сетки. Найдите как можно больше равнобедренных треугольников с вершинами в узлах сетки на сторонах квадрата.

9.

Какое наибольшее суммарное количество белых и чёрных шашек можно расставить в клетках доски 8×8 так, чтобы выполнялось следующее условие: в каждой горизонтали и в каждой вертикали белых шашек должно быть в два раза больше, чем чёрных?

10.

В какое наибольшее число цветов можно раскрасить шахматную доску 8×8 так, чтобы каждая клетка граничила по стороне хотя бы с двумя клетками своего цвета? (Каждая клетка закрашивается целиком в один цвет.)