МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 24 (16 апреля 2011 года)

1.

Легко оклеить куб в один слой шестью равными квадратами. Придумайте, как оклеить куб в один слой а) шестью равными неквадратными прямоугольниками; б) шестью равными фигурками, не имеющими ни одного прямого участка границы.

2.

а)

На столе лежат 3 яблока весом 200 г, 300 г и 400 г. Малыш, а затем Карлсон берут по яблоку и одновременно начинают их есть (с одинаковой скоростью). Тот, кто доел своё яблоко, берёт следующее; каждый хочет съесть как можно больше. Какое яблоко выбрать Малышу вначале?

б)

А если есть ещё яблоко весом 450 г?

3.

Петя в пустыне встретил камень на котором написано: „Иди прямо 1 м, там поверни направо (под прямым углом), потом прямо 2 м, направо, прямо 3 м, направо, ..., направо, прямо 997 м, направо, прямо 998 м, направо, прямо 499 м, направо, прямо 500 м. Полчаса покопай, и там найдешь клад”. Как Пете дойти до клада напрямик, не проходя весь указанный путь?

4.

На пальме сидело много мартышек. Вдруг 20 из них получили по пинку. Пнутая мартышка срывает с пальмы 3 финика и раздает подружкам. Мартышка, получившая 2 финика, съедает их и пинает другую мартышку. После того как произошло 30 новых пинков, мартышки успокоились. Сколько фиников осталось у мартышек?

5.

Узлы клеток бесконечной клетчатой плоскости покрашены в два цвета. Докажите, что найдётся а) прямоугольный треугольник с одноцветными вершинами; б) прямоугольник с одноцветными вершинами.

6.

Есть полоска из а) 8; б) 99 клеток и две фишки. Играют двое. Вначале фишки стоят на первой и второй клетках (самой левой и соседней). За ход разрешается передвинуть любую фишку вправо на любую свободную клетку. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто может выиграть вне зависимости от действий соперника?

Дополнительные задачи

7.

Петя копал полчаса, и вместо клада нашёл табличку с надписью: „Иди на север 1 м, там поверни направо на угол 60°, потом прямо 2 м, направо на 60°, прямо 3 м, направо на 60°, ..., направо на 60°, прямо 60 м. Полчаса покопай, и найдешь клад”. Как Пете дойти до клада напрямик?

8.

Есть полоска из 100 клеток и три фишки. Играют двое. Вначале фишки стоят на первой, второй и третьей слева клетках. За ход разрешается передвинуть любую фишку вправо на любую свободную клетку. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто может выиграть вне зависимости от действий соперника?

9.

Есть доска а) 8×8; б) 7×7; в) 6×6 клеток, выкрашенная в белый цвет. За ход разрешается наложить на доску фигурку из четырёх клеток в виде буквы T, и перекрасить все белые клетки, попавшие в нее, в чёрный цвет, а все чёрные — в белый. Можно ли за несколько ходов целиком перекрасить доску в чёрный цвет?