МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 13 (11 декабря 2010 года)

1.

В Солнечном городе живут 25 коротышек. У каждого из них есть три воздушных шарика: красный, синий и желтый. Смогут ли они так поменяться шариками, чтобы у каждого все три шарика оказались одноцветными?

2.

а)

В клетках квадрата 3×3 расставлены целые числа так, что сумма чисел в любом уголке из трёх клеток неотрицательна. Может ли сумма всех чисел в квадрате быть отрицательной?

б)

Тот же вопрос для квадрата 4×4.

3.

а)

Можно ли покрыть квадрат 4×4 уголками из трёх клеток в несколько слоёв так, чтобы над каждой клеткой квадрата было одинаковое количество уголков? (Уголки не должны вылезать за пределы квадрата.)

б)

Тот же вопрос для квадрата 3×3.

4.

В стене имеется маленькая дырочка (точка). У хозяина есть флажок, изображённый на рисунке справа. Покажите все точки, в которые можно вбить гвоздь так, чтобы флажок закрывал дырку.

5.

На доске написано несколько положительных чисел, каждое из которых равно полусумме остальных. Сколько чисел написано на доске?

6.

Можно ли сложить квадратный лист бумаги так, чтобы затем одним взмахом ножниц разрезать его на четыре квадратика?

7.

На столе лежат 100 спичек. За ход разрешается взять со стола несколько спичек, но не более половины лежащих на столе. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Дополнительные задачи

8.

Можно ли расставить лазерные датчики вокруг небольшого здания в степи так, чтобы ни к этому зданию, ни к датчикам нельзя было незаметно подкрасться? (Каждый датчик стоит неподвижно и «видит» на 100 м строго вперёд.)

9.

За круглым столом сидят 33 представителя четырёх племен: люди, гномы, эльфы и гоблины. Известно, что люди не сидят рядом с гоблинами, а эльфы не сидят рядом с гномами. Докажите, что какие-то два представителя одного и того же племени сидят рядом.