МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Руководители Сергей Александрович Дориченко и Степан Львович Кузнецов
2010/2011 учебный год

Занятие 4 (9 октября 2010 года)

1.
Над цепью озёр летела стая гусей. На каждое озеро садилась половина стаи и ещё полгуся, а остальные летели дальше. Все гуси сели на пяти озёрах. Сколько гусей было в стае?
2.
Однажды во время проведения в замке костюмированного бала был слишком рано поднят мост, и опоздавшие — одиннадцать дам и два кавалера — оказались отрезанными от замка рвом, наполненным водой. Все остальные уже ушли и не могли им помочь, но им удалось найти маленькую лодку. Она могла перевезти за один раз только одну даму (у дам были пышные платья) или двух кавалеров. Как же им удалось пересечь ров и не промокнуть?
3.
Одиннадцать мальчиков и одиннадцать девочек сидят за круглым столом. Докажите, что у кого-то из них оба соседа — мальчики.
4.
Зайчиха купила для своих семерых зайчат семь барабанов разных размеров и семь пар палочек разной длины. Если зайчонок видит, что у него и барабан больше, и палочки длиннее, чем у кого-то из братьев, он начинает громко барабанить. (А просто так зайчонок барабанить не станет.) Какое а) наибольшее; б) наименьшее число зайчат может начать барабанить после того, как зайчиха подарит им барабаны и палочки?
5.
Два джентльмена одновременно вошли в парк: один в пункте A, а другой — в пункте B (см. план парка на рисунке, жирным выделены дорожки). Каждый джентльмен решил обойти этот парк, пройдя по одному разу по каждой дорожке. Докажите, что если они всё время будут идти с одинаковыми скоростями, то обязательно встретятся.
6.
В ребусе ИДЕЯ − ЛЕНЬ = ДЕЛО одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а разные буквы — разные цифры. Найдите решение этого ребуса, при котором ЛЕНЬ наименьшая.
7.
Река Меандровка, имеющая много излучин, пересекает прямолинейное шоссе под несколькими мостами. Обязательно ли найдутся два моста, соседние и по реке, и по шоссе? (Мосты называются соседними по реке, если на участке реки между ними нет других мостов; мосты называются соседними по шоссе, если на участке шоссе между ними нет других мостов. Других рек и дорог в этой местности нет.)

Дополнительные задачи

8.
Помощник фокусника просит одного из зрителей написать на доске в ряд N цифр. Затем помощник фокусника стирает ровно две из них. После этого появляется фокусник. Глядя на оставшиеся цифры, фокусник безошибочно отгадывает, что было стёрто. Придумайте, как можно организовать такой фокус. (Фокусник и его помощник заранее выбирают число N таким, каким им удобно; фокусник видит, на каких местах стояли стёртые цифры.)
9.
Петя разрезал прямоугольный лист бумаги по прямой. Затем он разрезал по прямой один из получившихся кусков. Затем он проделал то же самое с одним из трёх получившихся кусков и т.д. Докажите, что после достаточного количества разрезаний можно будет выбрать среди получившихся кусков 100 многоугольников с одинаковым числом вершин (например, 100 треугольников или 100 четырёхугольников и т.д.).
10.
Можно ли расставить на листе клетчатой бумаги 2010×2010 крестики и нолики так, чтобы ни на одной горизонтали, вертикали и диагонали нельзя было встретить три одинаковых знака подряд?

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS