МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 7 (30 октября 2010 года)

1.

За сутки до дождя Петин кот всегда чихает. Сегодня кот чихнул. „Завтра будет дождь,” — подумал Петя. Прав ли он?

2.

— У Вовы больше тысячи книг, — сказал Ваня.
— Нет, книг у него меньше тысячи, — возразила Аня.
— Одна-то книга у него наверняка есть, — сказала Таня.
Сколько книг может быть у Вовы, если истинно ровно одно из этих утверждений?

3.

Среди четырёх людей нет трёх с одинаковым именем, или с одинаковым отчеством, или с одинаковой фамилией, но у каждых двух из них совпадает или имя, или отчество, или фамилия. Может ли такое быть?

4.

У Пети есть площадка 3×5, на которую он поставил несколько кубиков с ребром 1. На рисунках даны виды спереди и сбоку того, что получилось. Какое наименьшее число кубиков мог поставить Петя?

5.

На столе лежат а) 20; б) 77 спичек. Маша и Даша по очереди берут со стола спички, но не больше девяти за один раз. Первой ходит Маша. Выигрывает девочка, взявшая последнюю спичку. Кто из них может выиграть независимо от того, как будет играть соперница, и как ей для этого надо действовать?

6.

На доске 5×5 расставлено 5 фишек, причем их расположение симметрично относительно диагонали доски.

а)

Нарисуйте хотя бы одно такое расположение фишек.

б)

Докажите, что при любом таком расположении хотя бы одна из фишек окажется на диагонали.

в)

Пусть теперь расположение фишек симметрично относительно обеих диагоналей. Докажите, что в центральной клетке доски обязательно стоит фишка.

Дополнительные задачи

7.

В каждой клетке доски 4×4 лежит слива. Уберите 6 слив так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке осталось четное число слив.

8.

Маша загадала число от 1 до 100, а Серёжа пытается его угадать. Для этого он называет разные числа. Если число, названное Серёжей, совпадает с числом, о котором в этот момент думает Маша, то Маша признается, что это то самое число. Если же Серёжа ошибается, то Маша прибавляет к своему числу десять. Серёжа знает, что Маша так поступает. Сможет ли он угадать число?

9.

Разбейте квадрат 6×6 на доминошки 2×1 и проведите в каждой из них одну из диагоналей так, чтобы ни у каких двух из этих диагоналей концы не совпадали.

10.

Помощник фокусника просит одного из зрителей написать на доске в ряд N цифр. Затем помощник фокусника стирает одну из них. После этого появляется фокусник. Глядя на оставшиеся цифры, фокусник безошибочно отгадывает, какая цифра была стёрта. Придумайте, как можно организовать такой фокус. (Фокусник и его помощник заранее выбирают число N таким, каким им удобно; фокусник видит, на каких местах стояли стёртые цифры.)