МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 8 (6 ноября 2010 года)

1.

В январе некоторого года было четыре пятницы и четыре понедельника. Каким днём недели было 20-е число этого месяца?

2.

Число больше своей последней цифры в 7 раз. Каким может быть это число?

3.

На рисунке слева — прямоугольная салфетка, на которой изображено 7 розочек. Проведите несколько прямолинейных разрезов так, чтобы салфетка разделилась на 7 частей, и каждая часть содержала ровно одну розочку. (Разрез должен начинаться и заканчиваться на краю салфетки, а не внутри неё.)

4.

Есть квадратный пруд. По углам его близ воды растут четыре старых дуба. Пруд понадобилось расширить, увеличив его площадь в два раза, при этом сохранив его квадратную форму. Как это сделать, чтобы дубы остались на своих местах на берегу пруда?

5.

Расшифруйте ребус, изображённый на рисунке справа. (Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.)

6.

а)

Напишите в строчку несколько цифр так, чтобы из этой строчки вычёркиванием всех цифр, кроме двух, можно было получить любое двузначное число.

б)

Какое наименьшее число цифр может быть в такой строчке?

7.

В клетках бесконечного листа клетчатой бумаги расставлены натуральные числа так, что каждое из них есть среднее арифметическое чисел, стоящих в соседних клетках. (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.) Докажите, что все эти числа равны между собой.

Дополнительные задачи

8.

Можно ли расставить в клетках квадрата 4×4 числа от 1 до 16 так, чтобы каждое число было или меньше всех чисел, стоящих в соседних по стороне клетках, или больше всех этих чисел?

9.

Можно ли расставить в клетках квадрата 8×8 натуральные числа так, чтобы в любых двух соседних по стороне клетках числа отличались на 1, а в клетках, связанных ходом коня, числа отличались на 3?

10.

Имеются 70 настоящих и 259 фальшивых 10-рублёвых монет. Известно, что настоящие весят целое число грамм, а фальшивые отличаются от настоящих ровно на 1 грамм в ту или иную сторону. Как с помощью одного взвешивания на точных весах (весах, показывающих массу взвешиваемого в граммах) определить про данную монету, фальшивая она или настоящая?