МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 8

1.

У Маши не хватало для покупки букваря семи копеек, а у Миши одной копейки. Они сложились, чтобы купить букварь на двоих, но денег всё равно не хватило. Сколько стоил букварь?

2.

а)

Каждую из трёх котлет нужно пожарить на сковороде с двух сторон, на каждую сторону уходит пять минут. На сковороде умещается только две котлеты. За какое наименьшее время можно изжарить все три котлеты? (Временем на переворачивание и перекладывание котлет пренебречь.)

б)

48 кузнецов должны подковать 60 лошадей. Какое наименьшее время они затратят на работу, если каждый кузнец тратит на 1 подкову 5 минут? (Лошадь не может стоять на двух ногах.)

3.

Можно ли двумя ударами топора разрубить подкову на шесть частей, не перемещая частей после удара?

4.

Существуют ли целые числа x, y и z, удовлетворяющие уравнению 28x + 30y + 31z = 365?

5.

В высотном здании МГУ есть переход между общежитием и учебной зоной. С 13-го этажа учебной зоны он ведёт на 19-й (!) этаж общежития. Как такое может быть?

6.

Сто человек сидят за круглым столом, причём больше половины из них — мужчины. Докажите, что какие-то два мужчины сидят друг напротив друга.

7.

В ящике 28 красных, 20 зелёных, 12 жёлтых, 20 синих, 10 белых и 10 чёрных шариков. Сколько шариков надо вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди вытащенных шариков обязательно оказалось не менее 15 шариков одного цвета?

8.

Путешественник выходит из своего родного города и отправляется в самый дальний от него город страны, затем — в город, самый дальний от этого города, и так далее. Расстояния между всеми городами различны. Докажите, что если путешественник не вернулся в родной город после второго перехода, то он никогда в него не вернётся.

9.

В парламенте у каждого депутата не более трёх врагов. Докажите, что парламент можно разделить на две палаты так, что у каждого парламентария в своей палате будет не более одного врага.