МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 11. Взвешивания

1.

У равнобедренного треугольника одна сторона равна 3 см, а другая — 7 см. Найдите периметр этого треугольника.

2.

В конференции участвовали 19 учёных. После её окончания каждый отправил 2 или 4 письма другим участникам конференции. Могло ли случиться, что каждый участник получил ровно 3 письма? (Письма на почте не теряют!)

3.

а) Есть 3 монеты, одна из которых фальшивая — легче настоящих. За какое наименьшее количество взвешиваний на чашечных весах без гирь можно выявить фальшивую монету? А если монет б) 9, в) 81, г) 30?

4.

Монеты достоинством 1, 2, 3 и 5 тугричков весят, соответственно, 1, 2, 3 и 5 граммиков. Среди четырех монет разного достоинства есть фальшивая, отличающаяся весом от обычной. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь найти фальшивую монету?

5.

Среди семи монет имеются две фальшивые. Фальшивые монеты легче настоящих, а между собой — одинакового веса. Какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь потребуется, чтобы выявить обе фальшивые монеты?

6.

Имеется 4 камня, различных по весу. Найдите самый тяжелый и самый лёгкий камень за 4 взвешивания на чашечных весах.

7.

Из любых ли ста палочек можно выбрать несколько палочек, из которых можно сложить многоугольник?

8.

Имеется 50 мешков, в каждом по 1000 монет. В 49 мешках монеты настоящие, а в одном — фальшивые. Известно, что настоящая монета весит 10 г, а фальшивая — 9 г. Одним взвешиванием на электронных весах определите, в каком мешке фальшивые монеты. Электронные весы позволяют определить вес произвольного набора монет.

9.

Может ли число, записываемое при помощи 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, быть точным квадратом?

10.

В США дату принято записывать так: номер месяца, потом номер дня и год. В Европе же сначала идет число, потом месяц и год. (Например, запись 01.04.2010 по-европейски означает 1 апреля, а по-американски — 4 января 2010 года.) Сколько в году дней, дату которых нельзя прочитать однозначно, не зная, каким способом она написана?

Дополнительные задачи

11.

В ряд лежат 1023 апельсина, упорядоченные по весу от самого легкого до самого тяжелого. Сколько нужно сделать взвешиваний, чтобы добавить в ряд 1024-й апельсин так, чтобы апельсины снова оказались упорядоченными? Для взвешивания можно использовать только чашечные весы.

12.

Имеются шесть монет различного веса. Докажите, что нельзя упорядочить их по возрастанию массы, сделав меньше десяти взвешиваний (на чашечных весах).

13.

Как разложить 552 гири весом 1 г, 2 г, 3 г, …, 552 г на три равные по весу кучки?

14.

Даны целые числа a₀, a₁, …, a_n. Известно, что числа a₀ и a₀ + a₁ + … + a_n нечётны. Докажите, что уравнение

a₀ + a₁ x + a₂ x² + … + a_{n − 1} x^{n − 1} + a_n xⁿ = 0

не имеет целых корней.