МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 19. Инвариант

1.

На столе стоят 16 стаканов. Из них 15 стоят правильно, а один перевернут донышком вверх. Разрешается одновременно переворачивать любые четыре стакана. Можно ли, повторяя эту операцию, поставить все стаканы правильно?

2.

Набор (b₁, …, b₇) является перестановкой набора целых чисел (a₁, …, a₇). Докажите, что число (a₁ − b₁) · … · (a₇ − b₇) — чётное.

3.

На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 19, 20. Разрешается стереть любые два числа a и b и вместо них написать число a + b + 1. Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?

4.

В таблице 3×3 одна из клеток (угловая) закрашена чёрным цветом, все остальные — белым. За один ход разрешается поменять цвет всех клеток в какой-либо строке или в каком-либо столбце. Можно ли за несколько таких ходов добиться того, чтобы все клетки стали белыми?

5.

На шести ёлках сидят шесть чижей, на каждой ёлке — по чижу. Ёлки растут в ряд с интервалами в 10 метров. Если какой-то чиж перелетает с одной ёлки на другую, то какой-то другой чиж перелетает на столько же метров в противоположном направлении. Могут ли все чижи собраться на одной ёлке? А если чижей и ёлок семь?

6.

Дно прямоугольной коробки вымощено плитками 1×4 и 2×2. Плитки высыпали из коробки и одна плитка 2×2 потерялась. Её заменили на плитку 1×4. Можно ли теперь замостить дно коробки?

7.

Разменный автомат меняет одну монету на 5 других. Можно ли с его помощью разменять металлический рубль на 26 монет?

8.

В вершинах куба расставлены числа: 7 нулей и одна единица. За один ход разрешается прибавить по единице к числам в концах любого ребра куба. Можно ли добиться того, чтобы все числа стали равными? А можно ли добиться того, чтобы все числа делились на 3?

Дополнительные задачи

9.

На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий. Может ли случиться так, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?

10.

На доске записаны несколько положительных чисел. За один ход разрешается любые два из них, скажем, a и b, заменить на числа a − ^b/₂ и b + ^a/₂. Можно ли через несколько таких ходов получить на доске исходные числа?

11.

Бумажный треугольник с углами 20°, 20°, 140° разрезается по одной из своих биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезается по биссектрисе, и так далее. Может ли после нескольких разрезов получиться треугольник с такими же углами, как у исходного?