МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 21

1.

В корзине лежат 30 грибов — рыжиков и груздей. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?

2.

Сложите из полосок 1×1, 1×2, …, 1×9 прямоугольник, каждая из сторон которого больше 1.

3.

Одна сторона равнобедренного треугольника равна 20 см, а другая равна ²/₅ третьей стороны. Найдите периметр этого треугольника.

4.

На одной стороне прямой улицы стоят несколько домов. В каком месте улицы нужно сделать автобусную остановку, чтобы сумма расстояний от неё до всех домов была наименьшей?

5.

На собрании должны выступить 4 человека: A, B, C и D. Сколькими способами можно организовать их выступление, если B не может выступать перед A?

6.

Радиоуправляемая игрушка выезжает из некоторой точки. Она движется по прямой, а по команде может поворачивать налево ровно на 17° (относительно прежнего направления движения). Какое наименьшее число команд необходимо, чтобы игрушка вновь прошла через точку старта?

7.

Дан а) произвольный треугольник; б) произвольный выпуклый четырёхугольник. Всегда ли можно замостить плоскость (без наложений и пробелов) плитками такой формы?

8.

Можно ли выпуклый 11-угольник разрезать на параллелограммы?

Дополнительные задачи

9.

Каждый из 2010 депутатов парламента дал пощечину ровно одному своему коллеге. Докажите, что можно составить парламентскую комиссию из 670 человек, члены которой не выясняли отношений между собой указанным выше способом.

10.

В колоде часть карт лежит „рубашкой вниз”. Время от времени Петя вынимает из колоды пачку из одной или нескольких подряд идущих карт, в которой верхняя и нижняя карты лежат „рубашкой вниз”, переворачивает всю пачку как одно целое и вставляет её в то же место колоды. Докажите, что в конце концов все карты лягут „рубашкой вверх”, как бы ни действовал Петя.