МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 22. Циркуль и линейка

1.

Как расположить 6 длинных круглых карандашей так, чтобы каждый из них касался любого другого?

2.

Из картона склеен кубик. Двое играют в игру, делая ходы по очереди. За ход можно разрезать кубик по любому ребру. Проигрывает тот, после чьего хода кубик развалится. Кто выиграет при правильной игре?

3.

а)

С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок пополам.

б)

Сделайте то же самое при помощи линейки и ржавого циркуля — циркуля, которым можно проводить лишь окружности фиксированного радиуса.

4.

На плоскости нарисован угол, и у вас в распоряжении имеется только циркуль. Какое наименьшее число окружностей надо провести, чтобы наверняка определить, является ли данный угол острым?

5.

Незнайка умеет откладывать только угол в 19°. Как ему отложить угол в 1°?

6.

На плоскости нарисован угол. Как при помощи только циркуля определить, равен ли этот угол 31°?

7.

Торговец принёс на рынок мешок орехов. Первый покупатель купил 1 орех, второй — 2 ореха, третий — 4, и так далее: каждый следующий покупатель покупал вдвое больше орехов, чем предыдущий. Орехи, купленные последним, весили 50 кг, после чего у торговца остался один орех. Сколько килограмм орехов было у торговца в начале? (Все орехи одинаковые.)

8.

Задача Наполеона. Пользуясь только циркулем, впишите в данную окружность с отмеченным центром квадрат.

Дополнительные задачи

9.

Раз в месяц директор фирмы предлагает трём своим заместителям проголосовать за новый список своей и их зарплат. Сам директор не голосует. Те заместители, чью зарплату предлагается увеличить, голосуют за, остальные — против. Предложение принимается большинством голосов. Может ли директор за год добиться, чтобы его зарплата вдесятеро увеличилась, а зарплаты всех заместителей вдесятеро уменьшились?

10.

На плоскости дана окружность с диаметром AB и точка M внутри круга (см. рисунок). Как при помощи только карандаша и односторонней линейки без делений опустить перпендикуляр из точки M на этот диаметр?