МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 18. Индукция и не только

0.

Как прорезать в тетрадном листке такую дырку, чтобы через неё смогли пролезть Вы сами?

1.

Прямоугольник составлен из шести квадратов (см. рисунок). Найдите сторону самого большого квадрата, если сторона самого маленького равна 1.

2.

Докажите, что квадрат можно разрезать на n меньших квадратов при любом n ≥ 6.

3.

а)

Два разбойника добыли мешок золотого песка. Никаких способов измерения у них нет; каждый оценивает долю песка на глаз и хочет получить не меньше половины всей кучи, при этом мнения разбойников о величине куч могут расходиться. Как им поделить добычу?

б)

А если разбойников трое и, соответственно, каждый хочет получить не менее трети добычи?

в)

А если их пятеро и каждый требует хотя бы одну пятую?

4.

Каждый зритель, купивший билет в первый ряд кинотеатра, занял одно из мест в нём. Оказалось, что все места заняты, но каждый зритель сидит не на своём месте. Билетёр может поменять местами а) двух произвольных зрителей; б) соседей, если они оба сидят не на своих местах. Всегда ли он может рассадить всех на свои места?

5.

Клетки доски а) 4×4; б) 6×6; в) 2010×2010 раскрашены в 4 цвета так, что в каждом квадратике 2×2 все клетки разного цвета. Докажите, что все угловые клетки разноцветны.

6.

На прямоугольном ломтике хлеба лежит круглый кусочек сыра. Докажите, что этот бутерброд можно разрезать одним прямолинейным разрезом на два так, чтобы и хлеб, и сыр разделились поровну.

7.

Существует ли а) пятизвенная; б) десятизвенная; в) 2010-звенная замкнутая ломаная, каждое звено которой пересекается ровно с двумя другими?

Дополнительные задачи

9.

На прямой лежат несколько отрезков, причём любые два из них имеют общую точку. Докажите, что все эти отрезки имеют общую точку.

10.

В некоторой стране 100 аэродромов, причем все попарные расстояния между ними различны. С каждого аэродрома поднимается самолет и летит на ближайший к нему аэродром. Докажите, что ни на один аэродром не может прилететь больше пяти самолетов.

11.

Из листа клетчатой бумаги размером 29×29 клеточек вырезали 99 квадратиков 2×2 (режут по линиям). Докажите, что из оставшейся части листа можно вырезать ещё хотя бы один такой же квадратик.

12.

Можно ли прямоугольную доску 55×99 распилить на трёхклеточные уголки?