МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 16

1.

Экологи запротестовали против большого объёма лесозаготовок. Председатель леспромхоза успокоил их следующим образом: „В лесу 99 процентов сосен. Будут вырубаться только сосны, и после вырубок процент сосен останется почти неизменным — сосен будет 98 процентов”. Какая часть леса отведена под вырубки?

2.

Квадрат 4×4 разделён на 16 клеток. Раскрасьте эти клетки в чёрный и белый цвета так, чтобы у каждой чёрной клетки было три белых соседа, а у каждой белой клетки был ровно один чёрный сосед. (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.)

3.

Каждую сторону прямоугольника увеличили на 3 см; в результате его площадь увеличилась на 39 см². Найдите периметр исходного прямоугольника.

4.

На какое наименьшее число кусков нужно разрубить проволоку длиной 120 см, чтобы из них (изгибая их, но не ломая) можно было собрать каркас куба со стороной 10 см?

5.

В пробирке находятся вирусы трёх типов: A (10 штук), B (11 штук) и C (12 штук). Два вируса любых двух разных типов могут слиться в один третьего типа. После нескольких слияний в пробирке останется только один вирус. Каков его тип?

6.

Петя и Витя ехали вниз по эскалатору. Посередине эскалатора хулиган Витя сорвал с Пети шапку и бросил её на встречный эскалатор. Пострадавший Петя побежал обратно вверх по эскалатору, чтобы затем спуститься вниз и вернуть шапку. Хитрый Витя побежал по эскалатору вниз, чтобы затем подняться вверх и успеть раньше Пети. Кто успеет раньше, если скорости ребят относительно эскалатора постоянны и не зависят от направления движения?

7.

В Конторе работают 2009 сумасшедших и 10 здоровых человек. Однажды каждый сотрудник написал докладную записку, в которой перечислил 2009 его коллег, по его мнению сумасшедших. Все нормальные верно назвали 2009 сумасшедших, а сумасшедшие — могли указать кого угодно (кроме себя). Докажите, что на основании этих данных можно выявить по крайней мере 9 сумасшедших.

8.

На плоскости нарисовано некоторое количество равносторонних треугольников. Они не пересекаются, но могут иметь общие участки сторон. Мы хотим покрасить каждый треугольник в какой-нибудь цвет так, чтобы те из них, которые соприкасаются, были покрашены в разные цвета (треугольники, имеющие одну общую точку, могут быть покрашены в один цвет). Хватит ли для такой раскраски двух цветов?

Дополнительные задачи

9.

Король решил уволить в отставку премьер-министра, но не хотел его обидеть. Когда премьер-министр пришёл к королю, тот сказал: „В этот портфель я положил два листа бумаги. На одном из них написано «Останьтесь», на другом — «Уходите». Листок, который вы сейчас не глядя вытянете из портфеля, решит вашу судьбу”. Премьер-министр догадался, что на обоих листках написано «Уходите». Однако ему удалось сделать так, что король его оставил. Как поступил премьер-министр?

10.

Двум гениям сообщили по натуральному числу и сказали, что эти числа отличаются на 1. После этого они по очереди задают друг другу один и тот же вопрос: „Знаешь ли ты моё число?”. Докажите, что рано или поздно один из них ответит положительно.

11.

Преобразование Барроуза – Уилера. Вадик написал название своего родного города и все его циклические сдвиги (перестановки по кругу), получив таблицу 1. Затем, упорядочив эти «слова» по алфавиту, он составил таблицу 2 и выписал её последний столбец: ВКСАМО. Саша сделал то же самое с названием своего родного города и получил «слово» ОССНГСОРОК. Что это за город, если его название начинается на букву С?

M O C K В А А M O C K В В А М О С К К В А М О С С К В А М О О С К В А М Таблица 1

А М О С К В В А М О С К К В А М О С М О С К В А О С К В А М С К В А М О Таблица 2

12.

Даны 40 чисел, ни одно из которых не делится на 5. Докажите, что сумма их сороковых степеней делится на 5.