МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 7

1.

Известно, что среди членов правительства Лимонии (а всего в нем 20 членов) заведомо имеется хотя бы один честный, а также что из любых двух хотя бы один — взяточник. Сколько в правительстве взяточников?

2.

На столе лежат 3 кучки по 10 камней. Вася и Петя играют в занимательную игру — они по очереди выбирают кучку и берут из неё столько камней, сколько хотят. Выигрывает тот, кто возьмёт последний камень. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть?

3.

Костя задумал натуральное число и нашел его остатки от деления на 3, на 6 и на 9. Сумма остатков оказалась равна 15. Найдите остаток от деления задуманного числа на 18.

4.

Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладьи так, чтобы они не били друг друга?

5.

Имеются два бикфордовых шнура. Шнуры при поджигании горят неравномерно, но каждый полностью сгорает за одну минуту. Как с помощью этих шнуров отмерить а) 30 секунд; б) 45 секунд?

6.

По кругу расставлено 9 нулей и единиц, причем встречаются и нули, и единицы. За один ход между всеми парами соседних чисел записывают новые по следующим правилам: между равными числами ставят нуль, а между неравными — единицу. После этого исходные числа стираются. Можно ли получить круг из одинаковых чисел?

7.

В некоторой стране все города занумерованы числами от 1 до 15. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если сумма их номеров делится на три. а) Можно ли добраться из города 1 в город 7 (возможно, с пересадками)? б) А из города 1 в город 9 (возможно, с пересадками)?

8.

Цифры числа A идут в возрастающем порядке (слева направо). Чему равна сумма цифр числа 9·A?

9.

10 друзей послали друг другу праздничные открытки. Каждый послал 5 открыток. Докажите, что какие-то двое обменялись открытками.

10.

Имеется набор из 2009 гирь, веса гирь попарно различны. Имеются специальные весы, с помощью которых можно из трех данных гирь выделить гирю промежуточного веса. Как с помощью данных весов определить 1005-ю по весу гирю?

11.

Двое играют в шахматы, но каждый делает по два хода сразу. Докажите, что у второго игрока нет выигрышной стратегии.

Дополнительные задачи

12.

В некотором государстве каждый город соединен с каждым дорогой. Сумасшедший король хочет ввести на дорогах одностороннее движение так, чтобы, выехав из любого города, в него нельзя было вернуться. Можно ли так сделать? (Возможно, что после этого из некоторых городов будет вообще нельзя выехать.)

13.

20 гномов жили в 20 домах. Однажды они все одновременно переехали. (И до, и после переезда в каждом доме живет ровно один гном.) Докажите, что дома можно раскрасить в три цвета так, чтобы у каждого гнома цвет его дома отличался от того, в котором он жил до переезда.

14.

Игра «Вечерний чай». Петя и Вася едят шоколадку 1001×1001, причем Вася съедает кусочки 2×2, а Петя — 1×1. Начинает Петя. Если Вася не может сделать ход, то Петя доедает остаток шоколада, а выигрывает тот, кто съедает больше. Кто же выиграет?