МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 4. Делимость и остатки

Вариант I (аудитории 1303, 1304, 1306 и 1311)

1.

Дядька Черномор написал на листке бумаги число 20. Тридцать три богатыря передают листок друг другу по цепочке, и каждый или прибавляет к числу или отнимает от него единицу. Может ли в результате получиться число 10?

2.

а)

Число при делении на 8 дает остаток 3. Какой остаток оно дает при делении на 4?

б)

Число при делении на 4 дает остаток 3. Какие остатки оно может давать при делении на 8?

в)

Число при делении на 15 дает остаток 7. Какой остаток оно дает при делении на 5?

3.

Сформулируйте и докажите признаки делимости на 2 и на 5. Верны ли аналогичные признаки для других однозначных чисел?

4.

Найдите все общие делители чисел а) 2009 и 2010, б) 20092007 и 20092013.

5.

Чтобы доказать, что число 1601 простое, его стали последовательно делить на 2, 3 и т. д. На каком числе можно остановиться?

6.

Ковбой Джо приобрел в салуне несколько бутылок Кока-Колы по 1 доллару 40 центов за штуку, несколько сэндвичей по 35 центов и бифштекс за 2 доллара 80 центов. Бармен потребовал 20 долларов 50 центов, на что Джо вытащил револьвер. Бармен пересчитал и исправил ошибку. Как Джо понял, что его обсчитали?

7.

На какую цифру оканчивается число а) 9¹⁰⁰, б) 2²⁰⁰⁹, в) 7⁷⁷?

8.

У числа переставили цифры и вычли из исходного. Докажите, что полученная разность делится на 9.

9.

Докажите, что число, состоящее из трех единиц и нескольких девяток (в любом порядке), не является точным квадратом (т. е. квадратом целого числа).

10.

Докажите, что среди любых n + 1 натуральных чисел найдутся два, разность которых делится на n.

11.

Докажите, что если к произвольному числу приписать число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, то результат будет делиться на 11.

Дополнительные задачи

12.

У числа 8²⁰⁰⁹ вычислили сумму цифр, у полученного числа снова вычислили сумму цифр и т. д., пока не получилось однозначное число. Какое?

13.

Докажите, что из любых n натуральных чисел, не кратных n, можно выбрать несколько, сумма которых делится на n.

14.

Докажите, что для любого натурального n существует n подряд идущих составных чисел.

15.

15! = 130*674368***. Найдите цифры, заменённые звёздочками.

Вариант II (аудитория 1302)

1.

Доказать, что произведение любых трех последовательных натуральных чисел кратно шести.

2.

Существует ли натуральное число, произведение цифр которого равно а) 630? б) 5500?

3.

Дети выходят из леса парами. В каждой паре идут мальчик и девочка, причем у мальчика либо в два раза больше орехов, либо в два раза меньше орехов, чем у девочки. Может ли всего у детей быть 100 орехов?

4.

а) Можно ли в ряду чисел 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 так расставить во всех промежутках между числами знаки «+» и «–», чтобы в результате получился 0? б) Тот же вопрос о ряде 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11. в) Тот же вопрос о ряде 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10.

5.

Капитан Кук попал в плен к пиратам. Их главарь требует у него выкуп, причем, будучи суеверным, хочет получить требуемую сумму ровно тринадцатью монетами. Сможет ли Кук откупиться, если: а) сумма выкупа – 100 дублонов, а у него есть монеты в 1, 3, 5 и 25 дублонов? б) сумма выкупа – 1000 дублонов, а у него есть монеты в 10, 30, 70 и 110 дублонов?

6.

Сумма цифр некоторого натурального числа равна 2010. Может ли это число быть квадратом натурального числа?

7.

Ковбой Джо приобрел в салуне несколько бутылок Кока-Колы по 1 доллару 40 центов за штуку, несколько сэндвичей по 35 центов и бифштекс за 2 доллара 80 центов. Бармен сказал, что с него 20 долларов 50 центов. Ковбой Джо застрелил бармена. Докажите, что было за что.

8.

Можно ли расставить по кругу семь натуральных чисел так, чтобы любые два соседних числа имели общий делитель больший 1, а любые два не соседних числа были взаимно просты.

9.

Юный бизнесмен Вася положил на счет в банк 3 рубля. Каждый день к счету в этом банке прибавляется количество рублей, равное сумме цифр текущего счета. Когда Вася пришел забирать свой вклад, ему выдали ровно 10000 рублей. Докажите, что его обсчитали.

10.

Назовём положительную числовую дробь актуальной, если сумма её числителя и знаменателя равна 2009. Всякую ли дробь можно выразить через актуальные с помощью сложения и вычитания?

11.

Найдите n подряд идущих составных чисел.

12.

При каких натуральных n число 10101…01 (n единиц, n − 1 нуль) простое?