МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 6. Игры

1.

Двое по очереди ломают шоколадку 6×8. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход.

2.

По окружности расставлены 100 чисел, причём каждое из них равно среднему арифметическому двух соседних. Докажите, что все эти числа равны.

3.

Двое по очереди кладут пятаки на круглый стол, причем так, чтобы они не накладывались друг на друга. (Пятак меньше стола.) Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

4.

На окружности расставлено 20 точек. Двое игроков по очереди соединяют любые две из них отрезком, не пересекающим отрезков, проведенных ранее. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

5.

Двое по очереди ставят а) ладьи; б) слонов; в) коней на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

6.

Можно ли квадрат разрезать на 9 квадратов и раскрасить их так, чтобы получились 1 белый, 3 серых и 5 черных квадратов, причем одноцветные квадраты были бы равны, а разноцветные — не равны?

7.

Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки какой-либо горизонтали или вертикали. Может ли при этом получиться доска, у которой ровно одна черная клетка?

8.

В куче 36 камней. За один ход разрешается взять от 1 до 5 камней. Выигрывает тот, кто возьмёт последний камень.

9.

В коробке лежат 30 спичек. Двое по очереди берут не более половины спичек. Кто не может сделать ход — проиграл.

10.

Шахматный король стоит в левом нижнем углу шахматной доски. Участвуют два игрока, которые ходят по очереди. За один ход его можно передвинуть на одно поле вправо, на одно поле вверх или на одно поле по диагонали «вправо-вверх». Выигрывает игрок, который поставит короля в правый верхний угол доски.

Дополнительные задачи

11.

Король и министр играют в игру — король ставит в любые две клетки бесконечного листа по крестику, а министр — один нолик. Сможет ли король поставить 10 крестиков в ряд?

12.

На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий. Может ли случиться так, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?

13.

На крайней левой клетке доски 20×1 стоит фишка. Два игрока по очереди сдвигают её (влево или вправо) на любое число клеток, на которое её ещё не сдвигали. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

14.

Игра «Ним». Имеется три кучки камней: а) 7, 8 и 9; б) произвольные. Двое по очереди берут любое количество камней, но только из одной кучки. Выигрывает взявший последний камень.